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Integralrechnung II          zurück

Das
bestimmte
Integral
a-absatz.pcx (280 Byte)
Erklärung
Am Ende der letzten Seite stellten wir fest, daß die
Differenz zwischen Unter- und Obersumme kleiner wird, 
wenn die Differenz d-delta.PCX (201 Byte)x kleiner wird. Das bedeutet aber:

Wenn wir d-delta.PCX (201 Byte)x unendlich klein werden lassen, dann wird
auch die Differenz zwischen Ober- und Untersumme 
unendlich klein, und es gilt:

Untersumme = Obersumme

(wenn d-delta.PCX (201 Byte)x gegen 0 geht)

Andererseits kennen wir die Summen-Ungleichung:

    Untersumme a-kl-gl.pcx (207 Byte)  Fläche A a-kl-gl.pcx (207 Byte) Obersumme 

Faßt man beide Gleichungen zusammen, dann gilt:
Untersumme =  Fläche A = Obersumme
(wenn d-delta.PCX (201 Byte)x gegen 0 geht)

Für den gemeinsamen Grenzwert zwischen Ober- und Untersumme gibt es einen extra Namen. Man nennt diesen Grenzwert das "bestimmte Integral":

Den gemeinsamen Grenzwert von Unter- und Obersumme für eine unendlich kleine Zerlegung des Intervalls [a,b], nennt man das bestimmte Integral über [a,b].

Das bestimmte Integral ist also gleich der gesuchten Fläche A.
Das Bild zeigt eine Fläche, die zwar nicht in unendlich viele,
jedoch symbolisch in sehr viele Rechtecke zerlegt wurde:
ia2s7p1.pcx (16844 Byte)