Polynomdivision                                                               

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Polynomdivision
durch einen
Linearfaktor
mit dem Hornerschema
a-absatz.pcx (280 Byte)

Einleitung

Im folgenden geht es um die Polynomdivisionen, bei denen
durch Terme der Form (x–a) geteilt wird. Man nennt  (x–a) einen
Linearfaktor, weil x nur in der 1.Potenz (d.h. linear) auftritt.


Solche Polynomdivisionen sind besonders einfach durchzuführen,
da man sie mit dem Horner-Schema lösen kann:

Nehmen wir an, wir wollen ein Polynom p(x)
durch einen durch einen Linearfaktor (x-a) teilen:

                   p(x) : (x–a) = q(x) +r

Gesucht sind also r und die Koeffizienten von q(x) .

Man erhält sie, indem man das HornerSchema für
p(x) an der Stelle a aufstellt:

      Die Koeffizienten von q(x)  sind die Zahlen in
      der unteren Reihe des Horner-Schemas.

      r ist gleich der letzten Zahl der unteren Reihe
      des Horner-Schemas. 

       

a-absatz.pcx (280 Byte)

Beispiel

Als Beispiel für eine "Polynomdivision durch einen Linearfaktor" wählen wir:
 
       (2x3–3x2+4x-1) : (x+2) =
 
Wer nun meint (x+2) sei kein Linearfaktor weil vor der 2 kein
Minus steht, der bedenkte das folgender Term gleichwertig ist:
 
        (2x3–3x2+4x–1) : (x–(–2)) =

 
Der Satz sagt nun, man muß das Horner Schema für
(2x3–3x2+4x–1) an der Stelle 2 aufstellen:

py04sbp1.pcx (3248 Byte)

Weiter sagt der Satz: Die untere Reihe entspricht den Koeffizienten
des Ergebnisses q(x), wobei die letzte Zahl (37) der Rest r ist:

       (2x3–3x2+4x–1) : (x+2) = 2x2–7x+18 Rest –37