Version: Test
©Raddy 2005

Potenzfunktionen IV                                          ZURÜCK

Umkehrfunktion
der Potenzfunktion
mit rationalen Exponenten
a-absatz.pcx (280 Byte) Satz

Eine Potenzfunktion mit rationalen Exponenten ist bijektiv, und daher
kann man eine Umkehrfunktion bilden (siehe Kurs Funktionen):

Man erhält die Umkehrfunktion (einer
Potenzfunktion mit rationalen Exponenten)
indem man den Kehrwert des Exponenten bildet.

Oder kurz gesagt: Aus dem Exponenten z/n wird der Exponent n/z
  

a-absatz.pcx (280 Byte) Beispiele

wpe8.jpg (30150 Byte)
       

a-absatz.pcx (280 Byte) Vorbemerkung zum Beweis

Wir wiederholen zuerst, wie man die Umkehrfunktion einer Funktion bildet:
1. Überprüfen, ob die Funktion bijektiv ist (z.B. wenn sie streng monoton ist)
2. Vertauschen der unabhängigen mit der abhängigen Variablen,
    d.h. wir müssen x und y vertauschen
3. Die neue Zuordnungsvorschrift nach der abhängigen Variablen y umstellen.
4. Der Definitionsbereich ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion

a-absatz.pcx (280 Byte) Beweis

Nun wollen wir sehen, wie die Umkehrfunktion der "Potenzfunktion mit
rationalen Exponenten
" lautet. Gegeben sei also eine Potenzfunktion
mit rationalen Exponenten:    

wpe8.jpg (30150 Byte)
1. Die Funktion ist im Definitionsbereich  R+ (bzw. R+\{0}bei negativen
    Exponenten) bijektiv und damit umkehrbar.
2.Wir vertauschen die Variablen x und y:
wpe8.jpg (30150 Byte)
3. Nun müssen wir nur noch die Funktion wieder nach der abhängigen
   Variablen y umstellen. Dazu potenzieren wir die Gleichung mit n/z:
wpe8.jpg (30150 Byte)

Die rechte Seite der Gleichung vereinfacht sich dadurch:
wpe8.jpg (30150 Byte)
Nun haben wir die Umkehrfunktion erhalten: Es ist eine Potenzfunktion
deren Exponent der Kehrwert ist, vom Exponenten der gegebenen
Funktion. Damit ist der Satz bewiesen. Allerdings müssen wir noch
den Definitionsbereich klären.

Schritt 4:
Definitonsbereich: Der Wertebereich der ursprünglichen Funktion
ist R+ (bzw. R+\{0}bei negativen Exponenten). Dies ist dann der
Definitionsbereich der Umkehrfunktion.
wpe8.jpg (30150 Byte)