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Fallunterscheidung |
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Satz |
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Um eine Betragsungleichung zu
lösen, müssen die Betragsklammern beseitigt werden.
Dies geschieht durch Fallunterscheidungen. Bei einer
Fallunterscheidung wird eine
Ungleichung durch zwei Ungleichungssysteme ersetzt, die
aus folgenden Ungleichungen
bestehen:
1. Das erste Ungleichungssystem besteht aus zwei
Ungleichungen:
a) Der zu ersetzenden Ungleichung, wobei die Betragszeichen
durch eine
normale Klammer ersetzt werden.
b) Einer Ungleichung der Form f(x)≥0, wobei f(x) der Term in
der Klammer ist.
2. Das zweite Ungleichungssystem besteht ebenfalls aus
zwei Ungleichungen:
a) Der zu ersetzenden Ungleichung, wobei die Betragszeichen
durch eine
normale Klammer ersetzt werden, und
das Rechenzeichen vor der Klammer
vertauscht wird (aus PLUS wird MINUS
und aus MINUS wird PLUS).
b) Einer Ungleichung der Form f(x)<0, wobei f(x) der Term in
der Klammer ist.
3. War die Ungleichung bereits Teil eines Ungleichungssystems,
dann werden die
anderen Ungleichungen des Systems in die beiden neuen Systeme
übernommen.
(dies ist ab der zweien Fallunterscheidung der Fall). |
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Beispiel |
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Gegeben ist die Betragsungleichung:
Wir führen die Fallunterscheidung durch. Im linken Ungleichungssystem
nehmen wir an,
dass der Term in der Klammer größer oder gleich Null ist (x+2≥0).
Wir ersetzen
die Betragsklammer durch eine normale Klammer. Im rechten
Ungleichungssystem
nehmen wir an, dass der Term in der Klammer kleiner Null ist (x+2<0).
Wir ersetzen
die Betragsklammer durch eine normale Klammer, und machen ein MINUS
davor:
Wir vereinfachen die beide Systeme (auflösen nach x):
Wir lösen jedes System für sich:
Die Lösungsmenge der Betragsungleichung ist die Vereinigungsmenge
der Lösungen der beiden Systeme:
Drei alternative Schreibweisen der Lösungsmenge:
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