Betragsungleichungen zurück
Beispiel bei dem zwei
Fallunterscheidungen
nötig sind
a-absatz.pcx (280 Byte) Beispiel
Gegeben ist die Betragsungleichung:

 
ŒWir führen eine Fallunterscheidung durch. Dies bedeutet folgendes. Die Terme zwischen
den Betragszeichen können sowohl positive als auch negative Werte annehmen. Wir
unterscheiden daher 4 Fälle (im allgemeinen 2n Fälle, wobei n die Zahl der Betragszeichen).
 
Im Fall 1 sind die Terme in den Betragszeichen beide nicht-negativ (größer oder gleich Null).
Im Fall 2 ist der Term im ersten Betragszeichen nicht-negativ, im zweiten aber negativ.
Im Fall 3 ist der Term im ersten Betragszeichen negativ, im zweiten aber nicht-negativ.
Im Fall 4 sind die Terme in den Betragszeichen beide negativ.

Die Fälle tragen wir in die Tabelle ein (siehe die gelben Felder):
  1.Betrag 2.Betrag Ungleichung Gelöst: System
1.Fall      
2.Fall      
3.Fall      
4.Fall      

Nun fragen wir uns, wie sich unsere Betragsungleichung in den einzelnen Fällen ändert.
Im Fall 1 sind beide Terme in den Betragsklammern nicht-negativ, und laut der
"Definition des Betrages" dürfen wir daher die Betragszeichen wegfallen lassen,
bzw. wir müssen sie durch eine "normale" Klammer ersetzen.
Im Fall 2 ist der Term in der ersten Betragsklammer nicht-negativ, und laut der
"Definition des Betrages" dürfen wir daher die Betragszeichen wegfallen lassen.
Der Term in der zweiten Betragsklammer ist jedoch negativ. Laut der "Definition
des Betrages" müssen wir daher das Vorzeichen vor der Klammer umdrehen,
wenn wir die Betragsklammer durch eine "normale" Klammer ersetzen.
Im Fall 3 und 4 gehen wir analog (genauso) vor:

  1.Betrag 2.Betrag Ungleichung Gelöst: System
1.Fall    
2.Fall    
3.Fall    
4.Fall    

ŽWir lösen die vier Ungleichungen aus dem letzten Schritt, indem wir sie nach x umstellen:

  1.Betrag 2.Betrag Ungleichung Gelöst: System
1.Fall  
2.Fall  
3.Fall  
4.Fall  

Für jeden der vier Fälle müssen wir nun ein Ungleichungssystem aufstellen. Das Ungleichungssystem besteht jeweils aus den beiden Ungleichungen, die sich
aus der Fallunterscheidung ergeben sowie der gelösten Betragsungleichung:

  1.Betrag 2.Betrag Ungleichung Gelöst: System
1.Fall
2.Fall
3.Fall
4.Fall

Wir lösen die vier Ungleichungssysteme, indem wir alle 12 Ungleichungen nach x umstellen.
(Kleine Hilfe: Ungleichungen wie 1<9 sind stets wahr, und brauchen nicht beachtet werden):



zDie Lösungsmenge ist die Vereinigungsmenge der Lösungsmengen der vier
einzelnen Ungleichungssysteme: