Satz über homogene
Differentialgleichungen
mit gebrochen
rationalem Polynom
Satz
Eine gewöhnliche Differentialgleichung 1.Ordnung der Form:
ist homogen, wenn im Zähler und im Nenner
homogene
Funktionen stehen, und die Homogenität bei beiden
Funktionen g(x,y) und h(x,y) vom gleichen Grad n ist:
Beispiel
Auf der einen Seite der Differentialgleichung steht die
1.Ableitung,
auf der anderen Seite der Differentialgleichung steht ein Bruch:
Im Zähler des Bruches steht eine homogene Funktion vom Grad 50, und im
Nenner des Bruches steht ebenfalls eine homogene Funktion vom Grad 50.
Daher handelt es sich um eine homogene Differentialgleichung:
Beweis
Gegeben sei eine Differentialgleichung der Form
wobei die Polynome g(x,y) und h(x,y) homogen vom Grad n sind.
Weil beide Polynome homogen vom Grad n sind, können wir xn
ausklammern:
Wir kürzen:
Die rechte Seite ist jetzt nur noch von y/x abhängig. Daher können wir
schreiben:
Dies ist aber die Schreibweise für eine homogene Differentialgleichung,
und damit ist der Satz bewiesen.
