Separierbare Differentialgleichungen
Die Definition einer
separierbaren
Differentialgleichung

a-absatz.pcx (280 Byte) Definition: Was ist eine separierbare Differentialgleichung
Eine Differentialgleichung der 1.Ordnung hat die allgemeine Form:

Dabei ist y' die 1.Ableitung und f eine Funktion der unabhängigen Variable x und
der abhängigen Variable y. Wir wählen jetzt die ausführliche Schreibweise für die
Ableitung y'. Außerdem geben wir ein Beispiel für eine Differentiallgeichung 1.Ordnung an:

Ein Sonderfall der Differentialgleichung 1.Ordnung ist die sogenannte
"separierbare Differentialgleichung". Bei einer separierbaren Differentialgleichung
steht auf der rechten Seite ein Quotient aus zwei Funktionen, wobei die Funktion
im Zähler nur von x abhängt und die Funktion im Nenner nur von y:

  

a-absatz.pcx (280 Byte) Woher kommt der Name "separierbar"
Um zu erklären, woher der Name "separierbar" kommt, multiplizieren
wir die letzte Differentialgleichung mit dx und dann mit g(y). Wir erhalten:

Jetzt stehen alle Terme mit y separat (getrennt) auf der linken Seite der
Differentialgleichung, alle Terme mit x stehen separat (getrennt) auf der
rechten Seite der Differentialgleichung: 

   Man nennt also Differentialgleichungen der Form y'=f(x)/g(y) deshalb separierbar,
   weil man die Differentialgleichung so umformen kann, dass die Terme mit x und
   die Terme mit y jeweils separat (getrennt) auf einer Seite stehen.


Differentialgleichungen der Form y'=f(x)/g(y) sind aber nicht die einzigen, bei denen
man die Variablen separieren kann. Daher gibt es noch ein paar andere Definitionen:
   
a-absatz.pcx (280 Byte) Alternative Definitionen der separierbaren DGL
Hier die sechs üblichen Definitionen. Die Vor- und Nachteile werden auf der
nächsten Seite ausführlich erklärt: