Wichtiger Hinweis zu den Vorkenntnissen:
Dieser Beweis setzt ein paar einfache Kenntnisse über Sattelpunkte voraus, wie sie das erste Kapitel im Kurs "Sattelpunkte" liefert. Man muß nämlich den Satz kennen: Wenn die 1.Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle ein Minimum hat, dann hat die Funktion dort einen Sattelpunkt mit ansteigenden Graphen.

Voraussetzung:
Gegeben sei eine Funktion f(x). Die erste nichtverschwindende Ableitung dieser Funktion soll die 9.Ableitung sein (siehe Bild oben).

Beweis Schritt Œ:
Weil die 9. Ableitung laut Voraussetzung die erste nichtverschwindende Ableitung ist, hat die 8.Ableitung an der Stelle x₀ den Wert Null. Weil außerdem die 9.Ableitung die Steigung der 8.Ableitung angibt, hat die 8.Ableitung an der Stelle x₀ eine positive Steigung. Beide Tatsachen zusammen bewirken, dass die 8.Ableitung an der Stelle  x₀ das Vorzeichen von Minus nach Plus wechselt.

Beweis Schritt �:
Weil die 8.Ableitung an der Stelle x₀ das Vorzeichen von Minus nach Plus wechselt, hat die 7.Ableitung dort ein Minimum. Außerdem gilt: Weil laut Voraussetzung die 9.Ableitung die erste Ableitung ist, die an der Stelle x₀ nicht verschwindet, hat die 7.Ableitung an der Stelle des Minimums (d.h. an der Stelle x₀) den Wert Null.

Beweis Schritt Ž:
Weil die 7.Ableitung an der Stelle x₀ ein Minimum hat und außerdem den Wert Null, bleibt sie dort positiv (oberhalb der x-Achse). Das hat zur Folge, dass die 6.Ableitung  in der einer Umgebung von x₀ eine positive Steigung hat.  Zweitens hat die 6.Ableitung an der Stelle x₀ selbst den Wert Null, denn laut Voraussetzung ist ja erst die 10.Ableitung die erste nichtverschwindende Ableitung.

Beides zusammen bedeutet, dass die 6.Ableitung an der Stelle x₀ das Vorzeichen von Minus nach Plus wechselt.

Beweis Schritt �+�  bzw. ‘+’  bzw. “:
Die Schritte 2 und 3 wiederholen sich jetzt abwechselnd, was man auch am Bild erkennt. Auf jeden Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus folgt ein Minimum, und auf jedes Minimum folgt wieder ein Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus. Daher haben alle ungeraden Ableitungen (an der Stelle x₀) ein Minimum mit dem Wert Null.

Beweis Schritt ”:
Wenn aber alle ungeraden Ableitungen (außer der 9.Ableitung) an der Stelle x₀ ein Minimum haben, dann hat auch die 1.Ableitung an der Stelle x₀ ein Minimum. Dies bedeutet aber, dass die Funktion f(x) dort einen Sattelpunkt mit ansteigenden Graphen hat.