Teilbarkeit und Nullstellen

Nun wollen wir die Umkehrung des Satzes von der vorigen
Seite beweisen:

Ist die Zahl a eine Lösung der Gleichung p(x)=0, dann ist das Polynom p(x) durch den Linearfaktor (x-a) teilbar:

Beweis

Wir wollen beweisen, daß p(x) durch (x-a) teilbar ist.
Auch wenn p(x) nicht durch (x-a) teilbar ist, so kann man
die Division f(x):(x-a) trotzdem durchführen, nur bleibt
eben ein Rest. Die Formel für diese Division kennen wir:

Die Gleichung stellen wir nach p(x) um:

Nun berechnen wir den Funktionswert an der Stelle a.
Der Ausdruck (x-a) wird dabei zu (a-a) und somit zu Null.
Dadurch erhalten wir eine Formel für r(x):

Laut Voraussetzung ist a eine Nullstelle, d.h. p(a)=0.
Wir ersetzen p(a) in Formel 3 durch Null:

Setzen wir Formel 4, also r(x)=0 , in die Formel 1 ein,
so erhalten wir die Behauptung die wir beweisen wollten:
Ist a ein Nullstelle von p(x), dann ist f(x) ohne Rest
durch (x-a) teilbar:

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