| Teilbarkeitssatz |
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Wiederholung der
Hilfssätze |
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Betrachten wir die beiden
Hilfsätze, die wir bewiesen haben:
Hilfssatz 1:
Ist ein Polynom p(x) durch einen Linearfaktor der Form (x–a)
teilbar,
dann ist die Zahl a eine Lösung der Gleichung p(x)=0:
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Hilfssatz 2:
Ist die Zahl a eine Lösung der Gleichung p(x)=0,
dann ist das Polynom p(x) durch den Linearfaktor (x-a) teilbar:
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Da wir "in beide Richtungen"
bewiesen haben, können wir beide Sätze zu einem Satz zusammenfassen: |
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Teilbarkeitssatz |
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Ein Polynom p(x) ist genau dann durch (x-a) teilbar,
wenn a eine Lösung der Gleichung p(x)=0 ist:
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Anwendung |
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Ist eine Lösung a einer
algebraischen Gleichung p(x)=0 bekannt,
dann kann p(x) in die Faktoren (x–a) und q(x) gespalten werden:
Suchen wir nun weitere Lösungen von p(x)=0, so
müssen wir q(x)=0 berechnen.
Weil der Grad von q(x) aber um 1 geringer ist, als der Grad von p(x),
ist die Gleichung q(x)=0 leichter zu lösen. Ein Beispiel folgt auf der nächsten Seite! |
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