Beispiel

Eine Anwendung des Nullstellensatz ist der folgende Fall:
Die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion sind gesucht,
wobei eine Nullstelle bereits bekannt ist (z.B. durch Raten).
Dann kann man die anderen Nullstellen mit Hilfe des
Nullstellsatzes finden.
  
Nehmen wir an, wir wollen die Nullstellen der Funktion:
  
        f(x) = 2x³-12x²+22x-12
  
berechnen, und es wäre die Nullstelle x₁ = 1 bekannt.
Nun wollen wir die anderen Nullstellen berechnen.


Die Nullstellen der Funktion f(x)=p(x) sind die Lösungen der algebraischen Gleichung p(x) = 0:
  
            2x³-12x²+22x-12   =  0      
  
Nun wenden wir den Nullstellensatz an: Weil uns laut der
Aufgabenstellung schon eine der Lösungen bekannt ist (x₁=1)
ist die linke Seite der Gleichung ohne Rest durch (x-1) teilen:
  
           (2x³-12x²+22x-12) : (x-1)  =  2x²-10x+12
  
Umgestellt nach p(x) lautet die Formel:
  
           (2x³-12x²+22x-12) = (2x²-10x+12)·(x-1)
  
Setzen wir die rechte Seite von in ein, erhalten wir:
  
            (2x²-10x+12)·(x-1) = 0
  
Die weiteren Nullstellen dieser Gleichung sind die Lösungen
der quadratischen Gleichung: (2x²-10x+12) = 0
Um die Lösungen zu ermitteln, benutzen wir die Lösungsformel
für quadratische Gleichungen und erhalten: 2 und 3.
  
Die Funktion f(x) = 2x³-12x²+22x-12 hat somit die Nullstellen:
  
             x₁ = 1
             x₂ = 2
             x₃ = 3