geändert: Feb/2009

Ganzrationale Funktionen VI                zurück

Der Graph
ganzrationaler
Funktionen im
Unendlichen
a-absatz.pcx (280 Byte)

Video

 

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a-absatz.pcx (280 Byte)

Erklärung

Als Beispiel wollen wir folgende Funktion betrachten:
 
        f(x) = x3+x2+x+1
 
Nun machen wir eine Tabelle, und tragen den Funktionswert
für verschiedene x ein. Dahinter schreiben wir die
Funktionswerte der einzelnen Glieder:

x

f(x) x3 x2 x 1
1 4 1 1 1 1
10 1111 1000 100 10 1
100 1.010.101 1.000.000 10.000 100 1
1000 1.001.001.001 1.000.000.000 1.000.000 1000 1

Wir bemerken folgendes:
 
         Je größter x ist, desto mehr hängt der gesamte
         Funktionswert f(x) vom größten Glied (x3) ab.
 
z.B. machen für x=1000 die Glieder x2+x+1 zusammen nur
noch 1% des gesamten Funktionswertes aus, x3 aber rund 99%.
 
Der Funktionsgrad verläuft der Graph also ungefähr so,
wie die Potenzfunktion g(x) = x3 verlaufen würde. Die
Verallgemeinerung dieser Aussage halten wir in einem Satz fest:

Gegeben sei ein ganzrationale Funktion:
 
     f(x) = anxn   + an-1xn-1 + ...  +  a1x + a0      (ana-unglei.pcx (196 Byte) 0)
 
Dann verläuft ihr Graph für große |x| ungefähr so,
wie der Graph des größten des Gliedes, d.h. wie:
 
     g(x) = anxn

Das Bild zeigt eine ganzrationale Funktion f(x) dritten Grades,
die für große |x| so verläuft, wie ihr größtes Glied g(x):
py05s6p1.pcx (9336 Byte)