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Ganzrationale Funktionen VI                zurück

Verhalten
an den
Nullstellen 1
a-absatz.pcx (280 Byte)

Erklärung

Im folgenden betrachten wir die Funktion:  f(x)=3x3-9x+6 :
py06s6p1.pcx (7984 Byte)
    
Die Nullstellen sind die Lösungen der zugehörigen
algebraischen Gleichung:
    
a-1.pcx (190 Byte)          3x3-9x+6 = 0
    
Wir versuchen eine erste Lösung durch Raten zu finden, und
beginnen wie immer unter den Teilern des Absolutgliedes.
Wir erraten die Lösung x1= 1 . Weil x=1 eine Lösung ist,
dürfen wir den Linearfaktor (x-1) abspalten:
    
a-1.pcx (190 Byte)        (3x3-9x+6) = (x-1)·(3x2+3x-6)
    
Die rechte Klammer von a-1.pcx (190 Byte) ist eine quadratische Funktion.
Wir bilden ihre Normalform, indem wir 3 ausklammern:
    
a-1.pcx (190 Byte)          (3x3-9x+6) = 3(x-1)(x2+x-2)
    
Die weiteren Nullstellen der Funktion f(x) sind die Nullstellen
der quadratischen Funktion in der rechten Klammer von a-1.pcx (190 Byte),
die man am besten mit der pq-Formel löst. Man erhält:
    
         
x2=1       und   x3= -2
    
Nun benutzen wir den Satz von Vieta (für quadratische
Funktionen),
und zerlegen damit die quadratische Funktion,
die in der rechten Klammer von a-1.pcx (190 Byte) steht:
    
a-1.pcx (190 Byte)          (3x3-9x+6) = 3(x-1)(x-1)(x+2)
    
Hier tritt nun der interessante Fall ein, daß der Linearfaktor (x-1) doppelt auftritt, also die Nullstelle x=1 doppelt vorhanden ist.
    
Auf der folgenden Seite untersuchen wir den Graph an der
einfachen und an der doppelten Nullstelle.