Gleichungen                                                                              

Analytisches Lösen
einer Gleichung durch

Äquivalenz- und
Folgeumformungen
a-absatz.pcx (280 Byte) Erklärung

Im ersten Kapitel haben wir gesagt, dass man eine Gleichung analytisch
(durch Umformungen), numerisch oder grafisch lösen kann.

In diesem Kapitel geht es um das analytische Lösen einer Gleichung.
Bei analytischen Lösen einer Gleichung formt man die Gleichung
solange um, bis die unbekannte Variable x auf einer Seite der
Gleichung isoliert ist. Beispiel:



Bei den Umformungen unterscheidet man zwischen Äquivalenz-
und Folgeumformungen. 
   

a-absatz.pcx (280 Byte) Äquivalenzumformungen

Wendet man eine Äquivalenzumformung auf eine Gleichung an,
dann wird die Lösungsmenge der Gleichung dadurch nicht verändert.
Anders ausgedrückt: Die Gleichung hat vor und nach der Umformung
die gleiche Lösungsmenge. Ein Beispiel ist die Multiplikation beider
Seiten einer Gleichung mit einer Zahl:

    
   

a-absatz.pcx (280 Byte) Folgeumformungen

Wendet man eine Folgeumformung auf eine Gleichung an,
dann wird die Lösungsmenge der Gleichung dadurch vergrößert.
Anders ausgedrückt: Die Gleichung hat nach der Umformung
mehr Lösungen als vor der Umformung. Ein Beispiel ist das
Potenzieren beider Seiten einer Gleichung:
 
Die falschen Lösungen bezeichnet man als Scheinlösungen.

Die Scheinlösungen stellen jedoch kein Problem da, wenn
man nach dem Lösen der Gleichung die Probe macht.
Bei der Probe werden alle Lösungen in die ursprüngliche
Gleichung eingesetzt. Ergibt sich dabei eine falsche Aussage,
dann handelt es sich um eine Scheinlösung. 
   

a-absatz.pcx (280 Byte) Unerlaubte Umformungen

Es gibt Umformungen, die man  nicht anwenden kann, weil sich
dadurch undefinierte Ausdrücke ergeben würden. Ein Beispiel
ist das Radzieren einer Gleichung, wenn eine Seite der Gleichung
negativ ist:
    
Solche Gleichungen löst man, indem man (vor dem Radizieren) beide
Seiten der Gleichung quadriert oder den Betrag bildet.