Die Anwendung einer
injektiven Funktion
ist eine
Äquivalenzumformung |
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Satz |
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Macht man beide
Seiten einer Gleichung zum Argument einer injektiven Funktion,
dann ist dies eine Äquivalenzumformung,
d.h. die neue
Gleichung hat die
gleichen
Lösungen wie die alte. Die injektive Funktion muss aber für alle
Werte
definiert sein, welche die beiden Seiten der Funktion annehmen
können. |
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Was ist eine injektive
Funktion? |
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Was ein injektive Funktion ist, haben wir im Kurs
Funktionen ausgiebig erklärt:
Es sind
Funktionen bei denen jeder Funktionswert höchstens einmal
auftritt.
Beispielsweise (aber nicht nur) sind alle
"streng monotonen Funktionen" injektiv.
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Beispiel |
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Wir haben gerade gesagt, dass es eine
Äquivalenzumformung darstellt, wenn wir
beide Seiten einer Gleichung zum Argument einer injektiven Funktion
machen.
Gegeben ist die Gleichung:
Wir machen nun beide Seiten
der Gleichung zum Argument der Kubikfunktion. Dies ist
eine Äquivalenzumformung, denn erstens ist die Kubikfunktion injektiv (da
streng monton
steigend),
und zweitens hat die Funktion einen ausreichend großen
Definitionsbereich D,
sodass kein undefinierter Ausdruck entstehen kann:
Man kann auch überprüfen, ob es sich wirklich um eine
Äquivalenzumformung
handelt. Die erste Gleichung hat die Lösung 2. Diese
Zahl ist auch die einzige
Lösung der zweiten Gleichung, was man durch Einsetzen der
Zahl 2
in die zweite Gleichung überprüfen kann. Somit handelt es dich um
eine
Äquivalenzumformung.
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