Version: Test
©Raddy 2003

Grenzwerte von Funktionen II                                      ZURÜCK

Anwendungsbereich
der Folgendefinition
a-absatz.pcx (280 Byte) Beispiel
Um einen Grenzwert bei x=0 zu vermuten, geht man so vor:

     Man vergleicht nur die Bilder (rot) einer von links gegen x0
     konvergierenden Folge, mit den Bildern (blau) einer von rechts
     gegen x0 konvergierenden Folge. Haben beide Bildfolgen den
     gleichen Grenzwert g, dann ist die Wahrscheinlichkeit groß,
     daß die Funktion den Grenzwert g an der Stelle x0 hat:
g02s30p2.pcx (19306 Byte)

Nun zeigen wir, daß diese Vermutung nicht zu stimmen braucht:
Als Gegenbeispiel betrachten wir wieder die Funktion f(x)=sin(1/x).

Nun wählen wir eine Bildfolge (blau) deren Urbildfolge (grün)
von links gegen x=0 konvergiert, und eine Bildfolge (rot) deren
Urbildfolge (schwarz) von rechts gegen x=0 konvergiert.
Die Urbildfolgen haben wir allerdings so gewählt, daß ihre Bilder
genau auf den "Spitzen" der Funktion f(x)=sin(1/x) zu finden sind:


g02s30p2.pcx (19306 Byte)

Dadurch haben wir nun eine Bildfolge (blau) die von links gegen g
konvergiert, und eine Bildfolge (rot) die von rechts gegen g
konvergiert (und deren Urbildfolgen gegen x=0 konvergieren).

Trotzdem ist g nicht der Grenzwert für xd-gegen.pcx (198 Byte)0 , was man leicht zeigen
kann indem man eine dritte Folge findet, die zwar gegen x=0
konvergiert, deren Bildfolge (gelb) aber nicht gegen g konvergiert:
g02s30p2.pcx (19306 Byte)

Fazit: Man muß also tatsächlich den Grenzwert aller Bildfolgen prüfen,
(deren Urbildfolgen gegen x=0 konvergieren), und nicht nur die Bilder
einer von links und einer von rechts gegen x=0 konvergierenden Folge.

Da dies nicht möglich ist, dient die Folgendefinition bei
der Praxis der Grenzwertberechnung nur zu 2 Dingen:

   1.  Dem Vermuten eines Grenzwertes. Der Beweis des
        Grenzwertes muß man anders führen, wie wir noch
        lernen werden.

   2. Dem Beweis, daß ein Grenzwert nicht existiert.
       Dazu muß man nur zwei Bildfolgen finden die nicht
       gegen den gleichen Wert konvergieren (obwohl ihre
       Urbildfolgen gegen den gleichen Wert konvergieren).