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Grenzwerte von Funktionen V                                      ZURÜCK

Grenzwert-
berechnung
an Nullstellen
des Nenners:

Methode:
Polynomdivision
a-absatz.pcx (280 Byte) Die Problemstellung
Auf den vorigen Seiten hatten wir zwei Methoden kennengelernt,
mit denen man den Grenzwert einer gebrochen-rationalen
Funktion berechnen kann, wenn der Grenzwert an einer
Nullstelle des Nenners gesucht ist (wie schon öfter erwähnt
darf man dann den Grenzwertsatz für Quotienten nicht anwenden).

Wir hatten dazu die Methoden "Ausklammern" und "Linear-
faktorenzerlegung" kennengelernt. Bei der Linearfaktoren-
zerlegung zerlegten wir ein Polynom 2.Grades:
g05s10p1.pcx (6454 Byte)


Für die Linearfaktorenzerlegung eines Polynoms 3.Grades mit
Absolutglied müßte man aber eine Gleichung 3.Grades lösen,
um die Linearfaktoren zu ermitteln. Da man dies in der Schule
jedoch normalerweise nicht lernt, empfiehlt es sich bei der
Grenzwertberechung von gebrochen-rationalen Funktionen
an den Nullstellen des  Nenners ab Polynomen 3. Grades mit
Absolutglied
das Verfahren der Polynomdivision.
a-absatz.pcx (280 Byte) Beispiel
Gesucht ist der Grenzwert:
g05s10p1.pcx (6454 Byte)
Wir berechnen den Bruch durch Polynomdivision:
g05s10p1.pcx (6454 Byte)
Da die Polynomdivision ohne Rest aufgeht, können wir den Bruch
als x²–5x+6 schreiben. Diesen Grenzwert kann man dann leicht
berechnen1, da ein Polynom (ganzrationaler Term) vorliegt:
g05s40p4.pcx (6454 Byte)
1 wie im Kapitel 4 gelernt, müssen wir nur x=1 einsetzen, da der Grenzwert
eines Polynoms für xd-gegen.pcx (198 Byte)x0 gleich dem Funktionswert an der Stelle x0 ist
.