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Konvergente Folgen II                ZURÜCK

Beweis des
Summensatzes
(2/2)
a-absatz.pcx (280 Byte) Beweis
Wie gesagt müssen wir folgende Aussage beweisen:

  Zu jeden (beliebig kleinen) a-g-eta.gif (853 Byte) gibt es eine Zahl  N(a-g-eta.gif (853 Byte)) ab der gilt:
           
  (a+b)-a-g-eta.gif (853 Byte) < an+bn < (a+b)+a-g-eta.gif (853 Byte) 

Um zu überprüfen, ob die Formel wirklich für beliebig 
kleine a-g-eta.gif (853 Byte) gilt, müssen wir die Formel etwas umstellen. 
Zuerst subtrahieren wir a+b, und erhalten: 
           
    -a-g-eta.gif (853 Byte) < an+bn -a -b < +a-g-eta.gif (853 Byte)
           
Nun vertauschen wir die Reihenfolge der Summanden:
           
    -a-g-eta.gif (853 Byte) < (an-a) +(bn-b) < +a-g-eta.gif (853 Byte)
           
Laut Voraussetzung sind <an> bzw. <bn> konvergente Folgen, und 
laut Kapitel 1 gilt dann: <an-a> = Nullfolge bzw. <bn-b> = Nullfolge:
           
    -a-g-eta.gif (853 Byte) < Nullfolge + Nullfolge  < +a-g-eta.gif (853 Byte)
           
Im Kurs "Nullfolgen" haben wir außerdem gelernt, daß die Summe
zweier Nullfolgen wieder eine Nullfolge ist, und somit gilt:
           
    -a-g-eta.gif (853 Byte) <  Nullfolge  < +a-g-eta.gif (853 Byte)
           
Nachdem wir die Ausgangsgleichung in diese Form gebracht 
haben, sehen wir, daß die Gleichung wirklich für beliebig 
kleine a-g-eta.gif (853 Byte) ab N(a-g-eta.gif (853 Byte)) gilt, denn eine Nullfolge hatten wir ja als 
eine Folge definiert, die ab einer Zahl N(a-g-eta.gif (853 Byte)) einen beliebig 
kleinen Wert a-g-eta.gif (853 Byte) annehmen kann. 



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