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Da der Beweis genauso wie der Beweis des Summensatz
(Kapitel II) verläuft, werden wir die Beweisidee nicht
nochmal in allen Details erläutern, sondern uns direkt
den Beweis zuwenden:
Wie gesagt müssen wir folgende Aussage beweisen:
Zu jeden (beliebig kleinen)  gibt es eine Zahl N() ab der gilt:
(a-b)- < an-bn < (a-b)+
Um zu überprüfen, ob die Formel wirklich für beliebig
kleine gilt, müssen wir die Formel etwas umstellen.
Zuerst subtrahieren wir (a-b), und erhalten:
- < (an-bn) -(a -b) < +
Nun vertauschen wir die Reihenfolge unter Berücksichtigung
der Vorzeichenregeln und erhalten:
- < (an-a) -(bn-b) < +
Laut Voraussetzung sind <an> bzw. <bn> konvergente Folgen, und
laut Kapitel 1 gilt dann: <an-a> = Nullfolge bzw. <bn-b> = Nullfolge:
- < Nullfolge - Nullfolge < +
Im Kurs "Nullfolgen" haben wir außerdem gelernt, daß die Differenz
zweier Nullfolgen wieder eine Nullfolge ist, und somit gilt:
- < Nullfolge < +
Nachdem wir die Ausgangsgleichung in diese Form gebracht
haben, sehen wir, daß die Gleichung wirklich für beliebig
kleine ab N() gilt, denn eine Nullfolge hatten wir ja als
eine Folge definiert, die ab einer Zahl N() einen beliebig
kleinen Wert annehmen kann.
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