Beweis:
Wenn die die Produktfolge <a_n·b_n> wirklich gegen den
Grenzwert a·b konvergieren sollte, dann muß es zu einer  
beliebig kleinen (nichtnegativen) Zahl eine Zahl N()  
geben, ab der gilt:
    
    (a·b)-  <  a_n·b_n  <    (a·b)+                    Gleichung 1
    
Wir hatten im Kapitel 1 festgestellt, daß für eine konvergente
Folge a_n gilt:
    
        a_n -a  = Nullfolge (NF)
    
Wir stellen diese Gleichung um:
    
        a_n = a + NF
    
In Gleichung 1 können wir deshalb a_n  bzw. b_n ersetzen:
    
    (a·b)-  <  (a+NF)·(b+NF)  <    (a·b)+
    
Die Klammern lösen wir durch ausmutliplizieren:
    
    (a·b)-  <  a·b + a·NF + b·NF + NF·NF  <    (a·b)+
    
Nun subtrahieren wir (a·b):
    
    -  <   a·NF + b·NF + NF·NF  <    +
    
Das Produkt aus konstanter Folge und Nullfolge ist eine
Nullfolge (siehe Nullfolgenlehrgang). Ebenso ist das
Produkt zweier Nullfolgen eine Nullfolge. Wir erhalten:
    
    -  <   NF + NF + NF  <   +
    
Die Summe mehrerer Nullfolgen ist wieder eine Nullfolge
(siehe Nullfolgenlehrgang). Wir erhalten somit:
    
    -  <   NF  <   +
    
Nachdem wir die Ausgangsgleichung in diese Form gebracht
haben, sehen wir, daß die Gleichung wirklich für beliebig
kleine ab N() gilt, denn eine Nullfolge hatten wir ja als
eine Folge definiert, die ab einer Zahl N() einen beliebig
kleinen Wert annehmen kann.