Version: 3 ©Raddy '99	Inhalt zu: Gruppen I ZURÜCK
Info-Seite	Vorkenntnisse: ... Themen: ... Infos: www.mathematik.net
Definition einer Gruppe
Die Menge	Eine Gruppe besteht grob gesagt aus einer Menge und einer Verknüpfung. Als Menge wählen wir die Menge der 2x2 Matrizen gegeben.
Die Verknüpfung	Als Verknüpfung wählen wir die Addition zweier 2x2 Matrizen.
Abgeschlossenheit der Verknüpfung	Verknüpft man zwei Elemente der Gruppe, so muß das Ergebnis ein Element der Gruppe sein. Für unser Beispiel heißt das: Addiert man zwei 2x2 Matrizen, so entsteht eine 2x2 Matrix. Die Tatsache, daß eine Verknüpfung (auf der Menge G) abgeschlossen ist, kann man auch anders ausdrücken. Man kann sagen: Die Verknüpfung ist eine innere Verknüpfung in der Menge G. Man schreibt: G×GG
Assoziativität	Die Gruppen-Verknüpfung muß assoziativ sein. Für unser Beispiel heißt dies: Die Addition von 2x2 Matrizen muß assoziativ sein.
Neutrales Element	Bezüglich der Gruppenverknüpfung muß es ein neutrales Element geben. Im Beispiel ist die Null-Matrix das neutrale Element.
Inverse Elemente	Bezüglich der Gruppenverknüpfung, muß es zu jedem Element ein inverses Element geben. Im unserem Beispiel ist dies eine Matrix mit inversen Vorzeichen.
Kommutative Gruppen	Gilt zu den soeben erklärten vier Gesetzen (Abgeschlossenheit, Assoziativität, Existenz eines neutralen Elementes, Existenz inverser Elemente) zusätzlich noch das Kommutativgesetz, so spricht man von einer kommutativen Gruppe. Unsere Beispiel-Gruppe (2x2-Matrizen) ist eine kommutative Gruppe.