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Inhalt zu: Gruppen IV                            ZURÜCK

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Untergruppen Gegeben sei eine Gruppe G und ein Gebilde G'.
Das Gebilde G' nennt man dann Untergruppe G' der Gruppe G,
wenn das Gebilde G' folgende drei Bedingungen erfüllt:

     a-1.pcx (190 Byte) G' liegt die gleiche Verknüpfung R zugrunde wie der Gruppe G
     a-1.pcx (190 Byte) G' liegt eine nichtleere Teilmenge G' der Menge G zugrunde
     a-1.pcx (190 Byte) Das Gebilde G' ist selbst wieder eine Gruppe
Beispiel 1: Im Kapitel I haben wir die Gruppe G der 2x2-Matrizen kennengelernt.
(Menge der 2x2-Matrizen zusammen mit der Matrix-Addition).
Eine Untergruppe G' dieser Gruppe besteht aus der Menge der
"2x2-Diagonalmatrizen" zusammen mit der Matrix-Addition:
gr4s2p1.pcx (9846 Byte)
Untergruppen-
kriterium
Muß man überprüfen, ob das Gebilde G' eine Untergruppe von G ist,
so muß man nur die folgenden vier Bedingungen überprüfen:

a-1.pcx (190 Byte) Die Verknüpfung R im Gebilde G' muß die gleiche wie in G sein
a-2.pcx (192 Byte) Die Menge G' muß eine nichtleere Teilmenge von G sein
a-31.pcx (284 Byte) Die Verknüpfung R muß auch in der Teilmenge G'm-teil.pcx (203 Byte)G
    abgeschlossen sein
a-34.pcx (285 Byte) Existiert zu jedem Element g' der Teilmenge G' ein
    inverses Element, und liegt dies in der Teilmenge G'
Beispiel 2: Gegeben sei die Gruppe der Drehungen eines Quadrates
die wir im Kapitel Gruppen II kennengelernt haben.
Dann ist die Gruppe der Drehungen um z·90° zm-elem.pcx (209 Byte)Z
eine Untergruppe dieser Gruppe.
Beispiel 3: Gegeben sei die Gruppe der Euklidische Vektoren der Ebene,
die wir im Kapitel Gruppen III kennengelernt haben. Dann ist
die Gruppe der Euklidische Vektoren einer Geraden der Ebene
eine Untergruppe dieser Gruppe.