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İRaddy 2000

Gruppen IV                                                        ZURÜCK

Beispiel a-absatz.pcx (280 Byte)Beispiel
       Im Kapitel I haben wir die Gruppe G der 2x2-Matrizen kennengelernt.
       (Menge der 2x2-Matrizen zusammen mit der Matrix-Addition).
       Eine Untergruppe G' dieser Gruppe besteht aus der Menge der
       "2x2-Diagonalmatrizen" zusammen mit der Matrix-Addition:
        gr4s2p1.pcx (9846 Byte)
        Das es sich hier wirklich um eine Untergruppe handelt, wollen
        wir nun anhand der Definition einer Untergruppe überprüfen:      

           a-1.pcx (190 Byte) Die Verknüpfung ist in G und G' gleich: Die Matrix-Addition
           a-1.pcx (190 Byte) Die Menge der "2x2-Diagonalmatrizen" ist eine
                nichtleere Teilmenge der 2x2-Matrizen.
           a-1.pcx (190 Byte) Nun müssen wir überprüfen, ob G' selbst wieder eine
               Gruppe ist, d.h. H muß alle Gruppenaxiome erfüllen:

               Abgeschlossenheit:
               Addiert man zwei "2x2-Diagonalmatrizen", so ist
               das Ergebnis ebenfalls eine "2x2-Diagonalmatrix".
               Das Axiom der Abgeschlossenheit ist somit erfüllt.

               Assoziativgesetz:
               Wenn das deutsche Strafgesetz in Deutschland gültig ist, dann
               ist es auch in einer Teilmenge von Deutschland (z.B. in Bayern)
               gültig. Genauso ist es mit dem Assoziativgesetz: Wenn das
               Assoziativgesetz in der Menge der 2x2 Matrizen gültig ist, dann
               ist es auch in der Teilmenge der "2x2-Diagonalmatrizen" gültig.

               Neutrales Element:
               Nun müssen wir überprüfen: Gibt es in der Menge der
               "2x2-Diagonalmatrizen" ein neutrales Element. Ja, es ist eine
               2x2-Nullmatrix, die ein Spezialfall einer 2x2-Diagonalmatrix ist.

               Inverse Elemente:
               Nun müssen wir überprüfen, ob das inverse Element einer
               "2x2 Diagonalmatrix" ebenfalls eine "2x2 Diagonalmatrix" ist.
               Wie man sieht ist dieses Axiom erfüllt:

               gr4s3p2.pcx (4101 Byte)