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Gruppen IV                                                           ZURÜCK

       Auf der vorigen Seiten haben wir gesehen: Wenn ein Gebilde G'
       eine Untergruppe einer Gruppe G sein soll, muß das Gebilde G':

                Die gleiche Verknüpfung (R) haben wie G
                Über einer Teilmenge G' der Menge G definiert sein
                Selbst eine Gruppe sein

       Damit das Gebilde G' die Bedingung erfüllt, müssen in
       der Struktur G' sämtliche Gruppenaxiome erfüllt sein:

                Abgeschlossenheit
                Assoziativgesetz
                Existenz eines neutralen Elementes
                Existenz inverser Elemente

        In der Praxis braucht man jedoch nur zwei der Gruppenaxiome
        überprüfen. Das Axiom (Assoziativgesetz) braucht man nie
        überprüfen, wie wir schon auf der Vorseite angedeutet haben:

               Wenn ein Strafgesetz in Deutschland gültig ist, dann ist es
               auch in einer Teilmenge von Deutschland (z.B. in Bayern)
               gültig. Genauso verhält es sich mit dem Assoziativgesetz:
               Wenn das Assoziativgesetz in der Menge G gültig ist,
               dann ist es auch in einer Teilmenge G' gültig.

          Das Axiom (Existenz eines neutrales Elementes) braucht
          man auch niemals überprüfen, weil es aus dem Axiom
          (Existenz inverser Elemente) folgt: Das neutrale Element hatten
          wir als Summe zweier zueinander inverser Elemente definiert:

                            g'  +  (g')^-1 = 0

        Aufgrund dieser Überlegungen läßt sich sagen: Muß man
        überprüfen, ob ein Gebilde G' eine Untergruppe von G ist,
        so muß man nur die folgenden vier Bedingungen überprüfen:      

Die Verknüpfung R im Gebilde G' muß die gleiche     wie in G sein Die Menge G' muß eine nichtleere Teilmenge von G sein Die Verknüpfung R muß auch in der Teilmenge G'G     abgeschlossen sein Existiert zu jedem Element g' der Teilmenge G' ein     inverses Element, und liegt dies in der Teilmenge G'

        Man nennt diese vier Bedingungen das Untergruppen-Kriterium