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Gruppen IV ZURÜCK |
| Weiteres Beispiel einer Untergruppe: Deckdrehungen eines Quadrates um z·90° |
 BeispielGegeben ist die Gruppe G der Drehungen eines Quadrates, die wir aus dem Kapitel Gruppen II kennen. Diese Gruppe G bestand aus der Menge der Drehungen eines Quadrates und der Verknüpfung "Addition zweier Drehungen". Eine Untergruppe dieser Gruppe ist die Menge der Drehungen eines Quadrates um z·90° z  Z, zusammen mit der Verknüpfung Raus der Gruppe G, also der "Addition zweier Drehungen". Zum Beweis werden wir das Untergruppen-Kriterium verwenden. Beweis Wir haben in der
Definition oben bestimmt, das die Verknüpfung "Addition zweier Drehungen" aus der Gruppe G auch dem Gebilde G' zugrundeliegt. Damit ist Bedingung 1 des Untergruppen-Kriteriums bereits erfüllt.  Die Menge der Drehungen eines Quadrates um z·90° zZ ist eine nichtleere Teilmenge der Menge der Drehungen eines Quadrates. Damit ist Bedingung 2 des Untergruppen-Kriteriums erfüllt.  Die Verknüpfung "Addition von Drehungen" ist in derTeilmenge Drehungen um z·90° z Z abgeschlossen:Addiert man eine Drehung um z1·90° mit einer Drehung um z2·90°, so erhält man eine Drehung um (z1+z2)·90°. Da die Summe zweier ganzer Zahlen wieder eine ganze Zahl z ist, erhalten wir eine Drehung z·90° z Z,also eine Drehung der Teilmenge.  Zu jedem Element der Menge Drehungen um z·90° zZ existiert ein inverses Element. Das inverse Element zu einer Drehung z·90° z Z ist eine
Drehung um -z·90° |