Die harmonische Reihe
Divergenzbeweis
a-absatz.pcx (280 Byte) Beweis: Die harmonische Reihe divergiert
Die Divergenz der harmonische Reihe wurde 1689 von Jakob Bernoulli nachgewiesen.

Der Beweis beruht darauf, dass ich eine Reihe nehme, von der ich weiß,
dass sie kleiner als die harmonische Reihe ist. Dann beweise ich, dass auch die
kleinere Reihe divergiert, und somit automatisch auch die größere, also die harmonische Reihe.

Die harmonische Reihe lautet:

Wir beginnen bei 1/3 und fassen 2, 4, 8, 16, 32, 64,  .... Summanden zusammen.
Man beachte, dass man unendlich viele Gruppen bilden kann:
Die Gruppe mit 2 Summenden ist größer als y ,denn es gilt:  
Die Gruppe mit 4 Summenden ist größer als y ,denn es gilt:  
Die Gruppe mit 8 Summenden ist größer als y ,denn es gilt:  

Wir können also schreiben:

Anscheinend ist jeder dieser Gruppen größer als 1/2, also zumindest so groß wie 1/2.
Und da man unendlich viele Gruppen bilden kann, die so groß sind wie 1/2,
wird der Wert der Reihe unendlich groß, d.h. sie divergiert, was zu beweisen war.