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Letzte Änderung: |
Regeln für Produkte
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Regel 1a: ∫f(x)·f '(x) dx
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Zusätzliches Beispiel
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Erweiterung der Regel: Warum die Ableitung der einen Funktion auch
ein Vielfaches des anderen Faktors sein darf
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Lösungsformel
zur Regel 1a
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Regel 1c: ∫g(ax+b)·h(ax+b)dx
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Regel 1d: ∫(ax+b)·(cx+d)r dx
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Regel 1f: ∫f(xn)·xa dx
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Regeln für verkettete Funktionen,
für Brüche und für Kehrwerte
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Regel 2a: ∫g(ax+b)dx => u=ax+b
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Lösungsformel zur Regel 2a
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Regel 2b: ∫h[g(ax+b)]dx => u=ax+b
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| Hinweis: Anstatt der Regeln für Brüche könnte man auch die Regeln für Produkte benutzen, wenn man die Brüche als Produkt schreibt. | |
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Regel 3a: ∫ f '(x) / f(x) => u=f(x) |
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Lösungsformel zur Regel 3a |
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Regel 3b: ∫ f '(x) / g[f(x)] => u=f(x) |
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Regel 3c: ∫ f (x) / [f '(x)]–1 =>
u=f(x) |
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Regel 3d: ∫ g[f (x)] / [f '(x)]–1 =>
u=f(x) |
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Regel 3e: ∫ g[ax+b] / h[ax+b] => u=ax+b |
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Regel 3f: ∫ g[x^n] / x => u=x^n |
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∫ 1 / [ f(x)·[f '(x)]–1 ] =>
u=f(x) |
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∫ 1 / [ g[f(x)]·[f '(x)]–1 ] =>
u=f(x) |
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∫ 1 / g[ax+b] =>
u=ax+b |
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∫ 1 / [ g(ax+b)·h(ax+b) ] =>
u=ax+b |
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∫ 1 / [(xⁿ+a)·x] =>
u=xⁿ+a |
Weitere Substitutionsregeln und das
Vorgehen, wenn alle Regeln versagen
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Warum e-Funktion und
Quadratwurzel oft gut zu substituieren sind
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Beispiel mit voriger Umformung: ∫e2x/ex+1 dx (Potenzgesetz im Zähler, dann Regel 1b) |
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s(x) wählen, dx durch du/s'(x) ersetzen, überprüfen ob sich eine Vereinfachung ergibt |
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1/(sinx·cosx) trig.Pyth. |
Wichtige Videos:
Wie erkenne ich, ob ich das Lösungsverfahren
Substitution oder die Partielle Integration anwenden muß?
Beweis aller Substitutionsregeln:
| Es reicht aus, wenn man das erste Video ansieht, dann hat man das Prinzip der Beweise verstanden: |
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Produkte
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Verkettete Funktionen
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Produkte und verkettete Funktionen |
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Brüche
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Brüche mit Substitution im Zähler und Nenner |
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Kehrwerte
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Kehrwert der Form
∫1/[(xⁿ+a)·x] dx |