1.Gegeben und Gesucht: Das gegebene Integral soll gelöst werden,
indem es auf einfachere Integrale zurückgeführt wird.
Gegeben:
2.Substitution: Wir versuchen den Radikanten durch u zu substituieren.
Natürlich müssen wir auch dx durch du ausdrücken, wozu
wir (wie üblich) die Substitutionsgleichung ableiten müssen.
Substitutiere den Radikanten der Wurzel durch u:
u=ax²+bx+c
Substitutiere nun auch noch dx.
Leite dazu die Substitutiongleichung x ab:

Schreibe u' ausführlich:

Stelle nach dx um:
3.Trick Im Zähler mx+n des ersten Bruches und im Nenner 2ax+b
des zweiten Bruches kommt noch die Variable x vor. Leider
kürzen sich beide Terme nicht weg, wie es bei Schulaufgaben üblich ist.
Daher benutzen wir zwei Tricks, und machen beide Terme gleich.
Erweitere den ersten Bruch mit 2a/m:
Im Zähler des ersten Bruches die Klammer ausmultiplieren.
Wir sehen, dass der erste Zähler und der zweite Nenner
ähnlicher sind, denn beide beginnen mit 2ax
Konstante vor Klammer bringen ...
... und Bruch vereinfachen:
Wir addieren b–b im Nenner.
Dies ist erlaubt, denn +b–b ist gleich Null,
und die Zahl Null kann man addieren,
ohne dass sich der Wert eines Terms ändert.
Nun zerlegen wir den Bruch mit Hilfe des
Distributivgesetzes:
Klammer ausmultiplizieren:
Jetzt sehen wir, dass sich zumindest im ersten Term
der Zähler und Nenner wegkürzen:
Den zweiten Summanden kann man vereinfachen:
4.Integrale aufteilen Unser Trick war zumindest teilweise erfolgreich, denn der erste Bruch hängt
nur noch von u ab, aber nicht mehr von x (a und m sind ja nur Konstanten).
Daher teilen wir das Integral in zwei Integrale.
Integral teilen:
   
5.Vereinfachen Im zweiten Integral die Konstanten im Zähler
vor das Integral ziehen und vereinfachen
Im zweiten Integral die Konstanten im Zähler
vor das Integral ziehen
Gleichnamig machen:
Auf einen Bruchstrich schreiben:
Kürzen
5.Rücksubstitution
   des zweiten
   Integrals
Im zweiten Integral kommen leider noch zwei Variablen vor, nämlich
die Variablen x und u. Durch die Rücksubstituion von u bzw. du
sorgen wir nun dafür,  dass das zweite Integral nur noch von x abhängt.
Rücksubstituion von u:

   
Rücksubstitution von du:
Die abgeleitete Substitutiongleichung lautete:

Umstellen nach du:
  
Zweite Intgral kürzen:
7.Erstes Integral lösen Wir haben zwar zwei Integrale erhalten, aber beide sind einfacher zu lösen,
als das gegebene Integral! Wir lösen zuerst das erste Integral.
Potenzregel anwenden:
Rücksubstitution:
u=ax²+bx+c
Klammer ausmultiplizieren und Konstanten zusammenfassen:
Weil m und a Konstanten sind, können wir sie mit der
Integrationskonstante k1 zusammenfassen zu k11.
8.Zweites Integral lösen Das zweite Integral haben wir bereits in einer anderen Aufgabe gelöst.
Wir übernehmen die Lösung von dort. Den Lösungsweg kannst
du dir hier ansehen: Lösungsweg in neuem Fenster öffnen
Lösung übernehmen:
Klammer ausmultiplizieren und Konstanten zusammenfassen: Weil a,b,m und n Konstanten sind, können wir sie mit der Integrationskonstante k2 zusammenfassen zu k22.
Nenner der Konstante vereinfachen:
Nenner der Konstante vereinfachen:
9.Lösung Wir fassen die Integrationskonstanten zusammen, und erhalten die Lösung
Integrationskonstanten zusammenfassen
ergibt die endgültige Lösung.