Funktionentheorie: Video Playlist und Skripte
Videos öffnen jeweils in einem neuen Fenster (einige wenige Links führen nicht zu Videos, sondern zu Erklärungen in Textform)
 
Den Videos liegt ein (teilweise) freies Skript von Takahashi zugrunde:
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Übungsaufgaben findet man hier:

 
Ein eigenes Skript ist in Vorbereitung.

0. Vorkenntnisse

• Zahlbereichserweiterungen

1. Die imaginäre Einheit

• Einführung der imaginären Zahlen als neues Vorzeichen (Video)
  
• Die Vielfachen einer imaginären Zahl (nur Text)
• Addition und Subtraktion imaginärer Zahlen auf dem Zahlenstrahl (nur Text)
• Potenzen imaginärer Zahlen
• Was ist i wirklich?

2. Komplexe Zahlen

• Definition der komplexen Zahlen
• Hintergrundwissen zur Definition
• Finde den Fehler: i=1?
• Finde den Fehler: 1=–1

3.Der Körper C der komplexen Zahlen

• Körpererweiterung von R nach C - Darf man i einfach erfinden?
• Körpererweiterung von R nach C - Beweis der Isomorpie
• Beweis: In C ist keine Anordnung möglich

4. Trigonometrische Form

• Die trigonometrische Form
  
• Trick 1
  
• Trick 2
• Trick 3

5. Exponentialform

• Exponentialform: Einführung
• Trigonometrische Funktionen durch die komplexe Exponentialfunktion ausdrücken

6. Umwandlungen der drei Formen

• Normalform in Exponentialform: Teil 1
  
• Normalform in Exponentialform: Teil 2

• Normalform in trigonometrische Form: Methode 1   Teil 2    Teil 3
• Normalform in trigonometrische Form: Methode 2   Teil 2    Teil 3
• Normalform in trigonometrische Form: Methode 3  

7. Grundrechenarten

• Vertiefung: Kann man auch in der Polarform addieren?
• Multiplikation in Normalform (Beweis der Regel durch das Permanenzprinzip)
• Division in Normalform 

8. Sätze mit Beweis (bis zur komplexen Dreiecksungleichung)

• Komplexe Zahl mal ihrer Konjugation
• Konjugation aus dem Quotienten komplexer Zahlen
• Sinus und Kosinus durch komplexe Exponentialfunktionen ausdrücken
• Dreiecksungleichung für komplexe Zahlen (Beweis)

9. Potenzieren und Satz von Moivre

• Potenzieren und der Satz von Moivre
• Beweis für natürliche Exponenten
• Beweis für negative Exponenten
• Korollar zum Satz von Moivre

• Beispiel 1
  
• Beispiel 2

10. Komplexe Quadratfunktion

• Animation der komplexen Quadratfunktion
  

11.Komplexe Wurzeln und Einheitswurzeln

• Wurzelfunktion 1 - Wiederholung der Umkehrbarkeit reeller Wurzeln
• Wurzelfunktion 2 - Definition und Mehrdeutigkeit 
• Wurzelfunktion 3 - Die Lösungsformel und Berechnungsbeispiel

• Beweis der Wurzel-Formel 1/2
• Beweis der Wurzel-Formel 2/2
  

• Quadratwurzeln in Normalform lösen - 1 (Formel)
• Quadratwurzeln in Normalform lösen - 2 (Beweis)

• Einheitswurzeln: Primitive Einheitswurzeln als Erzeugendensystem
• Einheitswurzeln: Der Summensatz
  
  
• Was ist die Quadratwurzel aus i
• Was ist die i-te Wurzel aus i? 

11.Gleichungen

• Lineare Gleichungen: Beispiel 1 (leicht)
• Lineaer Gleichungen: Beispiel 2 (schwerer)
  
• Quadratische Gleichung: Beispiel mit Konjugation
• Quadratische Gleichung mit komplexen Koeffizienten
• Dreiecksungleichung für komplexe Zahlen (Beweis)
• Aufgabe 1 (Ein Beweis bei dem die Dreiecksungleichung benutzt wird)
• Aufgabe 2 (Konjugationsformeln)

12.Allgemeines zu komplexen Funktionen 

• Verkettung 1 - Definitionsbereich einer verketteten Funktion
• Verkettung 2 - Beispiel

12.Mehrwertige Funktionen (arg, log usw.) 

• Vorkenntnisse: Erlaubte Rechenoperationen und Paradoxien
  

• 
  

13.Die Argumentfunktion und ihre Rechenregeln

• Definition der einwertigen und mehrwertigen Argumentfunktion

• Einwertige Argumentfunktion - Regel für  Potenzen 2 (Beweis des Korrekturfaktors)

• Mehrwertige Argumentfunktion - Regel für Produkte
• Mehrwertige Argumentfunktion - Paradoxie bei Regel für Quotienten
• Mehrwertige Argumentfunktion - Regel  für Potenzen

14.Der komplexe Betragsfunktion und ihre Rechenregeln

• Regel für Potenzen - Exponent darf aus dem Betrag gezogen werden

15.Generalisierte Potenzen 

• Generalisierte Potenzen 1 - Die neue  Definition
• Generalisierte Potenzen 2 - Erste Übersicht über die 5 möglichen Fälle 
• Generalisierte Potenzen 3 - Komplexe Basis und ganzer Exponent
• Generalisierte Potenzen 4 - Komplexe Basis und rationaler Exonent
• Generalisierte Potenzen 5 - Komplexe Basis und irrationaler Exponent
• Generalisierte Potenzen 6 - Komplexe Basis und komplexer Exponent 
• Generalisierte Potenzen 7 - Potenzgesetze 1

16.Komplexe trigonometrische Funktionen (Sinusfunktion, Kosinus, Tangens usw.)

• Trigonometrische funktionen durch die komplexe Exponentialfunktion ausdrücken

• Sinus

• Kosinus in der w-Ebene (Animation ohne Erklärung)
• Kosinus ist eine gerade Funktion (Animation)
  

16.Komplexe Exponentialfunktion (siehe auch Kapitel Nullstellen)

• Definition der komplexen Exponentialfunktion

• Darstellung in der w-Ebene
• Animation zum vorigen Video

• Darstellung im Raum: Teil 1
• Animation des Realteils (mit Musik zur Entspannung)
  

17.Komplexe Logarithmusfunktion

• Stetigkeit und geschlitzte Ebene

• Einwertige Logarithmen: Logarithmusgesetz für Produkte
• Einwertige Logarithmen: Logarithmusgesetz für Quotienten
• Einwertige Logarithmen: Logarithmusgesetz für Potenzen

• Mehrwertige Logarithmen: Logarithmusgesetz für Produkte
• Mehrwertige Logarithmen: Logarithmusgesetz für Quotienten
• Mehrwertige Logarithmen: Logarithmusgesetz für Potenzen

xx.Lineare Funktionen im Komplexen

• Lineare Funktionen - Aufgabe 1
  

18.Riemannsche Zahlenkugel und Möbius Transformation

• Möbius Transformation 1: Die Riemannsche Zahlenkugel
• Möbius Transformation 2: Lineare Funktionen (Verschiebung, Rotation, Dilatation, Drehstreckung)
• Möbius Transformation 3: Inversion
• Erklärung: Reziproke Funktion und Inversion

19.Nullstellen

• Komplexe Quadratfunktion Visualisierung 1a
• Komplexe Quadratfunktion Visualisierung 1b
• Komplexe Quadratfunktion Visualisierung 1c
• Komplexe Quadratfunktion 2 (Berechnung)

• Polynom 3.Grades - Berechnung

• Polynom 4.Grades - Visualisierung

• Sinusfunktion 1 Berechnung
• Sinusfunktion 2
• Sinusfunktion 3 - Berechnung über Betrag

• Exp hat keine Nullstellen 1 - Visualisierung und Beweisidee 
• Exp hat keine Nullstellen 2 - Beweis
• Exp hat keine Nullstellen 3 - Alternativer Beweis 

20.Grenzwerte

21.Differenzierbarkeit und Differentialrechnung

• Herleitung der Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen
  

22.Integralrechnung im Komplexen

• Integration im Komplexen 1 - Einführung und Visualisierung eines komplexen Integrals
• Integration im Komplexen 2 - Die Animation aus dem ersten Teil (ohne Ton)
• Integration im Komplexen 3 - Geometrische Lösung: - Beispiel: Realteil integrieren
• Integration im Komplexen 4 - Weitere Beispiele 
• Integration im Komplexen 5 - Parametrisierung - Beispiel:  Realteil integrieren
• Integration im Komplexen 6 - Parametrisierung - Beispiel:  Konjugation integrieren
  

• Anwendung: Reelle Integrale durch Umwandlung in komplexe Integrale lösen
  

30. Riemannsche Flächen

• Riemannsche Flächen: Beispiel Quadratfunktion 1