Methode 2:
Zweite Ableitung untersuchen |
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Einleitung |
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Mit der folgenden Methode (Untersuchung der 1. und 2.Ableitung) kann
man oft
(aber nicht immer) ein Extremum rechnerisch bestimmen. Falls
diese Methode
versagt,
muß auf das Tabellenverfahren zurückgegriffen
werden.
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Satz |
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Gegeben sei eine Funktion f(x) und eine Stelle x0.
Außerdem sei die erste Ableitung f '(x) an dieser Stelle
gleich Null: f '(x0)=0
Dann gilt:
f "(x0) < 0
=> Die Funktion hat an der
Stelle x0 ein Maximum
f "(x0) > 0
=> Die Funktion hat an der
Stelle x0 ein Minimum
f "(x0) = 0
=> Keine Aussage möglich.
Genauer:
An der
Stelle x0 kann sowohl ein Sattelpunkt
als auch ein Extremum vorliegen. |
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Beispiel: |
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Gegeben sei eine Funktion f(x):
Wir bestimmen die erste Ableitung:
Wir setzen die erste Ableitung gleich Null:
Wir lösen diese (reinquadratische) Gleichung:
Wir bilden die 2.Ableitung:
Wir setzen die Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung
ein:
Jetzt können wir den oben genannten Satz anwenden:
Weil bei x=–2 die 2.Ableitung kleiner alsNull ist, liegt dort ein
Maximum vor.
Weil bei x=2 die 2.Ableitung größer als Null ist, liegt dort ein
Minimum vor.
Wir bestimmen noch die y-Koordinaten, indem wir die berechneten
x-Koordinaten in die gegebene Gleichung f(x) einsetzen:
Die Koordinaten der Extrema lauten also:
Bild:
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