Logarithmusgleichung mit Logarithmus im Exponenten

Als nächstes betrachten wir Logarithmusgleichungen,
bei denen der Logarithmus im Exponenten einer
Potenz steht. Der Definitiosbereich ist D={x|x>0},
denn ein Logaritmus ist nur für positve Zahlen definiert.
lg5s30p1.bmp (2062 Byte)
Den ersten Summanden können wir mit Hilfe eines
der Potenzgesetze als Doppelpotenz schreiben:
lg5s30p1.bmp (2062 Byte)
Substitution:
Jetzt können wir die Substitution durchführen:
lg5s30p1.bmp (2062 Byte)
Wir bringen die Zahl (–1) auf die andere Seite,
indem wir auf beiden Seiten 1 addieren. Wir
erhalten eine quadratische Gleichung:
lg5s30p1.bmp (2062 Byte)
Die quadratische Gleichung lösen wir mit der
allgemeinen Lösungsformel. Sie lautet:
lg5s30p1.bmp (2062 Byte)
Wir setzen die Koeeffizienten der quadratischen
Gleichung in die Lösungsformel ein:
lg5s30p1.bmp (2062 Byte)
Wir vereinfachen und erhalten das Ergebnis z=1: lg5s30p1.bmp (2062 Byte)
Rücksubstitution:
Nun führen wir die Rücksubstitution durch:
lg5s30p8.bmp (1902 Byte)
Dann logarithmieren wir beide Seiten: lg5s30p8.bmp (1902 Byte)
Jetzt wenden wir das 3.Logarithmusgesetz an.
Übrigens dürfen wir es anwenden, weil x positiv ist,
denn sonst wäre log10(x) nicht definiert.
lg5s30p8.bmp (1902 Byte)
Jetzt benutzen wir den bekannten Satz: Ein Produkt
ist gleich Null, wenn eines der Faktoren gleich Null ist
(alternativ könnte man auch auf beiden Seiten die Wurzel ziehen)
lg5s30p8.bmp (1902 Byte)
Wir wenden die "Defintion des Logarithmus an",
und erhalten das Ergebnis:
lg5s30p8.bmp (1902 Byte)
Probe:
Die gegebene Gleichung lautete:
lg5s30p8.bmp (1902 Byte)
Wir setzten das Ergebnis x=1
in diese Gleichung ein:
lg5s30p8.bmp (1902 Byte)
log10(x) ist gleich 0.
Daher vereinfacht sich die Gleichung zu:
lg5s30p8.bmp (1902 Byte)
2·0=0, und daher: lg5s30p8.bmp (1902 Byte)
Die ursprüngliche Gleichung hat den Definitionsbereich
D={x|x>0}. Für alle x>0 gilt aber: x0=1
lg5s30p8.bmp (1902 Byte)
Wir erhalten eine wahre Aussage.
Daher ist x=1 eine tatsächlich eine Lösung
lg5s30p8.bmp (1902 Byte)
Lösungsmenge: lg5s30p8.bmp (1902 Byte)