Nullfolgenkriterium

Einführung
a-absatz.pcx (280 Byte) Das Nullfolgenkriterium
Wenn eine Reihe konvergiert, dann konvergieren
ihre Summanden gegen Null.
Da das Kriterium ein notwendiges aber kein hinreichendes Kriterium
für die Konvergenz einer Reihe ist, ist nur die Kontraposition
des Satzes praktisch benutzbar (näheres dazu am Ende der Seite): 
Wenn die Summanden einer Reihe nicht gegen Null konvergieren,
dann konvergiert die Reihe nicht (und somit divergiert sie).

Beispiel:

  

Die Summanden dieser Reihe konvergieren nicht gegen Null, sondern gegen 1,
und daher ist eine Konvergenz der Reihe unmöglich: Sie divergiert.
  

a-absatz.pcx (280 Byte) Veranschaulichung
Man kann sich dieses Kriterium veranschaulichen: Nehmen wir an,
wir bauen einen Turm, wobei die Höhe der Bausteine nicht gegen Null geht.
Dann wächst der Turm immer weiter ins Unendliche (die Höhe divergiert),
wenn wir genügend Bausteine übereinander stapeln.
 
a-absatz.pcx (280 Byte) Anmerkung 1: Die Umkehrung des Satzes ist falsch!
Entgegen der Anschauung gilt der Satz nicht in umgekehrter Richtung!
Es gibt nämlich durchaus Reihen, deren Summanden zwar gegen Null
konvergieren, jedoch ohne dass die Reihe selbst konvergiert.
Das klassische Beispiel ist die sogenannte "harmonische Reihe":

 

Obwohl die Summanden 1/n dieser Reihe gegen Null konvergieren,
konvergiert diese Reihe nicht, was schon 1689 von Jakob Bernoulli
bewiesen wurde. Die Anschauung versagt hier vollkommen.
  
a-absatz.pcx (280 Byte) Anmerkung 2: Divergenzkriterium
Da das Nullfolgenkriterium zwar ein notwendiges aber kein
hinreichendes Kriterium ist, kann man mit dem Kriterium nur
die Divergenz aber nicht die Konvergenz einer Reihe beweisen.

    Das Nullfolgenkriterium ist also ein Divergenzkriterium
    und kein Konvergenzkriterium!

Beweis (nur für Interessierte, kann übergangen werden):
Formallogisch beweißt man dies durch Kontraposition.
Das Nullfolgenkriterium lautet:



  Nun wenden wir die Kontraposition an, indem wir beide Aussagen negieren
  und den Implikationspfeil umdrehen:



  Eine Reihe, die nicht konvergiert, divergiert. Somit gilt: