Lösungsweg für den Fall:
Ungleichung hat nicht zerlegbare Faktoren |
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Hinweis zum Trickfilm |
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Zu dieser Seite gibt es einen Trickfilm mit einem ähnlichen Beispiel.
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Trickfilm:
Nicht zerlegbare Faktoren
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Worum geht es auf dieser Seite |
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Es kann vorkommen, dass ein Polynom nicht oder nicht vollständig
in Linearfaktoren zerlegbar ist, sondern nur in ein Produkt aus Linearfaktoren
und nicht zerlegbaren Polynomen. Dann dürfen wir die Ungleichung
durch diese
Polynome dividieren und kürzen, sodass diese Polynome verschwinden
und nur noch Linearfaktoren
übrig bleiben.
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Beispiel |
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Gegeben ist die Ungleichung:
(x–1)·(x2+3)·(–x2–4)
> 0
Die Terme (x2+3) und (–x2–4) haben keine
Nullstellen, denn die Gleichungen
x2+3=0 und –x2–4=0 sind in R nicht lösbar. Da sie
keine Nullstellen haben,
sind sie nicht in Linearfaktoren zerlegbar.
Wir wollen die Ungleichung nun durch (x2+3) dividieren. Wir
müssen 2 Dinge beachten:
Weil ein nicht zerlegbarer Term keine Nullstellen hat,
wird der Term (x2+3)
niemals Null,
und wir können die
Ungleichung durch diesen
Term teilen,
ohne das ein undefinierter
Ausdruck entsteht (durch eine Division durch Null).
Weil ein nicht zerlegbarer Term keine Nullstellen hat, ist er entweder
"für alle
x positiv"
oder "für alle x negativ".
Im Beispiel ist der Term (x2+3)
stets positiv,
und wir brauchen das
Ungleichheitszeichen nicht umdrehen:
Auf der linken Seite kürzen ergibt:
Wir betrachten den Term (–x2–4). Da die Gleichung –x2–4=0
keine Lösung hat,
wird der Term (–x2–4) nie zu Null, und wir dürfen die
Ungleichung durch diesen
Term teilen. Beachte dabei: Weil der Term außerdem für alle x negativ
ist, stellt
er eine negative Zahl dar, und wir müssen das
Ungleichheitszeichen umdrehen:
Auf der linken Seite kürzen ergibt:
 Auf beiden Seiten "1" addieren
ergibt die Lösung:
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