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Stichprobenverfahren |
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Vor- und Nachteile |
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Das Verfahren ist recht einfach zu verstehen, jedoch müssen zum Teil
recht aufwendige Funktionswertberechnungen gemacht werden.
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Grundlage des Verfahrens |
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Grundlage des Verfahrens ist die Tatsache, dass eine Polynomfunktion
stetig ist, d.h. sie macht keine Sprünge.
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Das Verfahren |
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Gegeben sei die folgende Polynomungleichung:
Wir betrachten die linke Seite der Ungleichung als Funktion
und fragen uns dann, wann diese Funktion größer Null ist.
Dazu berechnen wir die Nullstellen dieser Funktion, und
setzen dazu die linke Seite der Ungleichung gleich Null:
Wir lösen die entstande Gleichung:
Die Nullstellen zeichnen wir in ein Koordinatensystem ein:
Jetzt wählen wir aus jedem Intervall, das vor, zwischen oder nach den
Nullstellen liegt, eine Zahl aus. Beispielweise xa=0, xb=1.5
und xc=3.
Dann berechnen wir die Funktionswerte an diesen Stellen:
Nun tragen wir die Testpunkte in das Koordinantensystem ein. Dadurch
kennen wir auch den ungefähren Verlauf des Graphen, denn wenn das
Vorzeichen zum Beispiel in einem Punkt zwischen den Nullstellen positiv
ist,
dann ist es im ganzen Intervall zwischen diesen Nullstellen positiv.
Grund:
Das
Vorzeichen ändert sich nur
an den Nullstellen (falls es sich dort ändert):
Kehren wir nun zur gegebenen Ungleichung zurück, die wir folgendermaßen
interpretiert hatten: Wann ist die Funktion auf der linken Seite größer
Null:
Die Antwort gibt das Diagramm: Im Intervall (1,2) und im Intervall (2, ).
Die Lösungsmenge der Ungleichung besteht also aus diesen Intervallen. |
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