x³ > –a
(a nicht-negativ) |
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Lösungsmethode 1:
Fallunterscheidung |
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Gegeben ist eine Potenzungleichung mit ungeradem Exponent:
Die Lösungen der Ungleichung können sowohl positiv als auch negativ sein
(z.B. x= –1).
Die linke Seite der Ungleichung kann daher sowohl positiv oder negativ
werden.
Wir müssen daher eine Fallunterscheidung machen:
Die Lösungsmenge ist die Vereinigungsmenge beider Fälle, also: x > –2 |
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Lösungsmethode 2:
sign-Funktion anwenden |
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Gegeben ist wieder eine Potenzungleichung mit ungeradem Exponent:
Eine ungerade Potenzfunktion hat im allgemeinen die Umkehrfunktion:
 .
Im Falle der Kubikfunktion lautet die Umkehrfunktion daher
 .
Dabei ist sign(x) die Vorzeichenfunktion, die für negative Werte den
Wert –1 hat,
und ansonsten gleich 1 ist.
Wir wenden diese Funktion an. Da sie für alle x definiert ist, führt sie
zu keinem undefinierten
Ausdruck. Da sie auch streng monoton steigend ist, ist es auch eine
Äquivalenzumformung:
Auf der linken Seiten der Ungleichung heben sich Kubikfunktion und
Umkehrfunktion auf:
Die rechte Seite der Ungleichung kann man berechnen. Der Wert von
sign(–8) ist –1:
Der Betrag von –8 ist 8:
Wir erhalten die Lösung:
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