x³ < –a
(a nicht-negativ) |
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Lösungsweg |
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Gegeben ist die Potenzungleichung mit ungeradem Exponent:
Die rechte Seite der Ungleichung ist negativ. Die linke Seite muss daher
auch negativ
sein. Wir dürfen daher den Defintionsbereich auf die negativen Zahlen
einschränken.
Wir erhalten das Ungleichungssystem:
Weil nun beide Seiten negativ sind, dürfen wir
beide Seiten quadrieren. Dabei müssen
wir aber das Ungleichheitszeichen umdrehen, denn wir quadrieren negative
Terme,
d.h. wir benutzen den streng monoton fallenden Teil der
Quadratfunktion:
Die linken Seite vereinfachen wir mit einem Potenzgesetz, die rechte
Seite rechnen
wir aus:
Weil beide Seiten positiv sind, dürfen auf beiden Seiten die 6.Wurzel
ziehen, ohne
dass ein undefinierter Ausdruck entsteht. Da die Wurzelfunktion auch
streng montoton
steigend ist, handelt es sich außerdem um eine Äquivalenzumformung:
Auf der linken Seite der Ungleichung wenden wir jetz das folgende Wurzelgesetz an:
Außerdem berechnen wir die rechte Seite der Ungleichung, und erhalten so
die Betragsungleichung:
Wir lösen die Betragsungleichung:
Wir lösen das Ungleichungssystem:
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