Quadratische Ungleichungen zurück
Einführung am Beispiel
a-absatz.pcx (280 Byte) Erklärung
Wir wollen anhand eines Beispiels erklären, wie man eine quadratische
Ungleichung mit Hilfe der "quadratischen Ergänzung" löst:
0 Gegeben sei folgende quadratische Ungleichung:
1 Wir bringen die Ungleichung auf Normalform, d.h.
der Koeffizient von x2 soll zu 1 werden. Dazu
teilen wir die Ungleichung durch den Koeffizienten
des quadratischen Gliedes, also durch –2. Beachte:
Weil wir duch eine negative Zahl teilen, müssen
wir das Ungleichheitszeichen umdrehen:
2 Wir vereinfachen:
3 Jetzt bringen wir das konstante Glied –128 auf die
rechte Seite, indem wir auf beiden Seiten 128 addieren:
4 Jetzt addieren wir auf beiden Seiten die quadratische
Ergänzung, die wir aus dem Kurs Quadratische
Gleichungen kennen, und die sich so berechnet:
Nimm die Hälfte des Koeffizienten des Lineargliedes x
(8/2=4) und quadriere diese Zahl. Du erhältst 16:
5 Auf der linken Seite ist das 1.Binom entstanden.
Zur Erinnerung: a2+2ab+b2=(a+b)2
Wende diese Formel jetzt an:
6 Wir radizieren beide Seiten der Ungleichung. Dies
ist laut dem Kurs Ungleichungen eine
Äquivalenzumformung für Ungleichungen:
7 Die rechte Seite rechnen wir aus:
Auf der linken Seite der Ungleichung wenden wir
das folgende Wurzelgesetz an:
8 Diese Betragsungleichung lösen wir mit der
dazugehörigen Lösungsformel:
 
9 Wir subtrahieren auf allen Seiten der Ungleichung 4,
und erhalten die Lösung der Quadratischen Ungleichung:
Schritt 6 versagt manchmal, weil auf der rechten Seite eine negative Zahl erscheint,
und man negative Zahlen nicht radizieren kann. Auf der nächsten Seite zeigen wir,
was man dann tun muß.