Quadratische Gleichungen
Die Wurzel aus x²
a-absatz.pcx (280 Byte) Ein häufig gemachter Fehler
Wir wollen auf dieser Seite auf einen Fehler hinweisen, der beim
Lösen von Gleichungen des Typs x²=c häufig gemacht wird.
Wir betrachten also die Gleichung:
Q05s40p1.pcx (4262 Byte)
Nun ziehen wir auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel. Dies stellt
noch keinen Fehler dar, denn Wurzelziehen ist eine Äquivalenzumformung
(d.h. die Lösungsmenge der Gleichung verändert sich nicht):
Q05s40p1.pcx (4262 Byte)
Nun könnte man meinen, daß sich hier Quadrieren und Wurzelziehen
gegenseitig aufheben, wie wir im Kurs "Wurzelrechnung" gelernt haben
Es würde das falsche (weil unvollständige) Ergebnis erhalten:
Q05s40p1.pcx (4262 Byte)
Wir sehen, daß das Ergebnis unvollständig und daher falsch  ist,
denn die (richtige) Lösung lautet:
Q05s40p1.pcx (4262 Byte)
Um den Fehler zu finden, betrachten wir nochmal die 2.Gleichung:
Q05s40p1.pcx (4262 Byte)
Der Fehler ist folgender: Auf der linken Seite der Gleichung wurde
fälschlicherweise angenommen, dass sich Wurzelziehen und Potenzieren
gegenseitig aufheben, d.h. das folgende Gesetz wurde angewendet:

         

Die Regel, dass sich Potenzieren und Radizieren aufheben, gilt jedoch
nur für nicht-negative Radikanden, d.h. das Gesetz lautet richtig:

         

Ob unsere Basis nicht-negativ ist, wissen wir jedoch nicht,
weil x eine Unbekannte ist, die ja erst berechnet werden soll!
Daher muß ein ähnliches Gesetz angewendet werden:

         

Die Lösung mit Hilfe dieses Gesetzes haben wir bereits kennengelernt.