Die Wurzel
aus x² |
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Ein häufig gemachter Fehler |
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Wir wollen auf dieser Seite auf einen Fehler
hinweisen, der beim
Lösen von Gleichungen des Typs x²=c häufig gemacht wird.
Wir betrachten also die Gleichung:
Nun ziehen wir auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel. Dies stellt
noch keinen Fehler dar, denn Wurzelziehen ist eine Äquivalenzumformung
(d.h. die Lösungsmenge der Gleichung verändert sich nicht):
Nun könnte man meinen, daß sich hier Quadrieren und Wurzelziehen
gegenseitig aufheben, wie wir im Kurs "Wurzelrechnung" gelernt haben
Es würde das (falsche) Ergebnis erhalten:
Wir sehen, daß das Ergebnis unvollständig und daher falsch ist,
denn die (richtige) Lösung lautet:
Um den Fehler zu finden, betrachten wir nochmal die 2.Gleichung:
Der Fehler ist folgender: Auf der linken Seite der Gleichung heben sich
das Wurzelzeichen und das Potenzzeichen eben nicht auf:
Die Regel, daß sich Potenzieren und Radizieren aufheben,
gilt nämlich nur für nicht-negative Basen. Ob unsere Basis
nicht-negativ ist können wir aber garnicht sagen, weil x
die Unbekannte ist, die ja erst berechnet werden soll!
Damit ist der Fehler gefunden! Das Gesetz über die
"Wurzel einer Potenz" wurde angewendet, obwohl die
Voraussetzung (nicht-negative Basis) nicht gegeben war. |
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