Beweis durch
Umformung
in eine
Betragsgleichung |
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Nötige Vorkenntnisse |
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Auf dieser Seite wollen wir die Lösungsformel
für reinquadratische Gleichungen
auf eine andere Art beweisen. Dazu werden wir folgende Formel benutzen:
Die Richtigkeit dieser Formel kann man sich sehr einfach überlegen:
Für die linke Seite gilt: Wenn man eine Zahl x quadriert und dann
die Wurzel zieht, dann erhält man die ursprüngliche Zahl x,
wobei ein negatives Vorzeichen verschwindet. Genau das gleiche
macht aber auch das Betragszeichen auf der rechten Seite.
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Beweis der Lösungsformel durch
Betragsgleichung |
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Wir wollen wieder die Lösungsformel für
reinquadratische Gleichungen
beweisen. Eine reinquadratische Gleichung hat die Form:
Wir ziehen nun auf beiden Seiten die Wurzel:
Die linke Seite der Gleichung dürfen wir durch |x| ersetzen, wie wir
am Anfang dieser Seite (ganz oben) bewiesen haben:
Dies ist eine sogenannte Betragsgleichung. Die Gleichung ist wahr,
wenn man für x die positive oder negative Wurzel aus c einsetzt.
Daher hat die Betragsgleichung die Lösungen:
Beide Lösungen kann man zusammenfassen:
Dies ist die Lösungsformel für reinquadratische Gleichungen,
die wir beweisen wollten. |
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