Herleitung der
Lösungsformel
durch Vergleich
der Basen |
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Erklärung des Verfahrens |
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Wir wollen nun die Lösungsformel für
Gleichungen der Art
(x+a)²=c eine andere Art herleiten.
Auf der linken Seite lösen wir die Gleichung wieder allgemein,
auf der rechten Seite ist ein Beispiel angegeben:
Wenn c positiv ist, kann man c als Potenz einer Wurzel schreiben:
Wir vergleichen die Basen miteinander: Die Gleichung ist auf
jeden Fall richtig, wenn x+a gleich der Wurzel aus c ist.
Aber es gibt noch eine zweite Lösung: Wenn die Basis nicht
(x+a) heißen würde, sondern –(x+a), dann wäre die Gleichung
auch richtig, denn es gilt: [–(x+a)]² = (x+a)² . Dir vorige
Gleichung hat also zwei Lösungen:
Natürlich müssen wir die Formeln noch nach x umstellen:
Beide Gleichungen kann man wieder zusammenfassen, und wir
erhalten die uns bereits bekannte Lösungsformel:
Eine quadratische Gleichung vom Typ: 
hat die Lösungen:
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1.Sonderfall: c=0 |
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Dann liegt eine "faktorisierte
Form" vor, und man kann die Lösungsmenge
L={a}sofort ablesen (siehe Kapitel III).
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2. Sonderfall: c<0 |
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Ist c negativ dann können wir c
nicht als Potenz einer
Wurzel schreiben, das Verfahren funktioniert dann
nicht, d.h. die Gleichung (x–a)²=c hat keine Lösung. |
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