Die Wurzel
aus (x+a)² |
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Ein häufig gemachter Fehler |
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Wir wollen auf dieser Seite auf einen Fehler
hinweisen, der beim Lösen
von Gleichungen des Typs (x+a)²=c häufig gemacht wird (der Fehler
wurde schon im Kapitel IV erwähnt).Wir betrachten dazu die Gleichung:
Nun ziehen wir auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel,
wobei dies noch keinen Fehler darstellt, denn Wurzelziehen ist
ja eine Äquivalenzumformung (d.h. die Lösungsmenge bleibt gleich):
Nun könnte man meinen, daß sich auf der linken Seite der Quadrieren
und Wurzelziehen gegenseitig aufheben, wie wir im Kurs "Wurzelrechnung"
gelernt haben. Man erhält das (falsche) Ergebnis:
Wir sehen, daß das Ergebnis unvollständig und daher falsch ist,
denn die Lösungsformel ist uns ja bereits bekannt, und lautet:
Um den Fehler zu finden, betrachten wir nochmal die 2.Gleichung:
Der Fehler ist folgender: Auf der linken Seite der Gleichung heben sich
das Wurzelzeichen und das Potenzzeichen eben nicht auf, dies haben
wir nur fälschlicherweise vermutet:
Die Regel, daß sich Potenzieren und Radizieren aufheben,
gilt nämlich nur für nicht-negative Basen. Ob unsere
Basis
nicht-negativ ist können wir aber garnicht sagen, weil x
die Unbekannte ist, die ja erst berechnet werden soll!
Damit ist der Fehler gefunden! Das Gesetz über die "Wurzel
einer Potenz" wurde angewendet, obwohl die Voraussetzung
(nicht-negative Basis) nicht gegeben war. |
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