Gegeben sei eine beliebige quadratischer Term
ohne Absolutglied
in Normalform:
Nun stellen wir uns folgende Frage: Welche Zahl b² muß man
zu dem Term addieren, damit das 1.Binom entsteht:
Zur Erinnerung hier nochmal die linke Seite der 1.Binomischen Formel:
Wir vergleichen nun die Gleichung (in der b gesucht ist) mit dem 1.Binom:
Das erste und letzte Glied sind gleich. Auch die mittleren Glieder
müssen gleich sein, damit das 1.Binom vorliegt. Wir müssen daher
die Mittelglieder gleichsetzen:
6x= 2xb
Wir stellen die Gleichung nach b um, und erhalten b=3:
Damit kennen wir auch die quadratische Ergänzung: b²=9. In der ursprüng-
lichen Gleichung muß also 9 addiert werden, damit ein 1.Binom entsteht:
Satz über die quadratische
Ergänzung
Wir wollen nun eine Regel aufstellen, wie man
die quadratische
Ergänzung bestimmt. Dazu überlegen wir uns, wie wir die
quadratische Ergänzung im Beispiel gefunden haben:
1. Wir haben das lineare Glied durch 2x geteilt um b zu erhalten
2. Die quadratische Ergänzung war das Quadrat dieser Zahl b.
Daher gilt der Satz:
Gegeben sei eine quadratische Gleichung
ohne Absolutglied in Normalform.
Dann ergibt sich die quadratische Ergänzung,
indem man daß lineare Glied durch 2x teilt,
und das Ergebnis quadriert.
