Wir zeigen nun, wie man die quadratische
Ergänzung benutzen kann,
um eine quadratische Gleichung zu lösen, die in Normalform vorliegt.
Lösen quadratischer Gleichungen in
Normalform
Gegeben sei eine quadratische Gleichung in
Normalform:
Wir bringen das konstante Glied auf die rechte Seite, indem
wir auf beiden Seiten der Gleichung die Zahl 7 addieren:
Nun berechnen wir die quadratische Ergänzung für die linke Seite
(wie gelernt: 6x durch 2x teilen und dann quadrieren ergibt 3²).
Diese quadratische Ergänzung (3²) addieren wir nun, wobei wir 3²
natürlich auf beiden Seiten der Gleichung addieren müssen:
(wir dürfen ja nur Äquivalenzumformungen an einer Gleichung
vornehmen, sonst würde sich die Lösungsmenge ändern):
Wie erwartet ist die linke Seite ist nun das 1.Binom, sodaß wir
die linke Seite auch als Binom schreiben dürfen:
Nun liegt eine Gleichung der Form (x+a)²=c vor, für die wir
im vorigen Kapitel V eine Lösungsformel entwickelt haben:
Die beiden Lösungen heißen also:
Lösungsschema in Kurzform
1. Konstantes Glied auf rechte Seite bringen
2. Quadratische Ergänzung für linke Seite ermitteln
3. Quadratische Ergänzung auf beiden Seiten addieren
4. Linke Seite ist nun Binom: In der Form (x+a)² schreiben
5. Gleichung (x+a)²=c mit der Lösungsformel lösen.
Zur Erinnerung: Die Lösungsformel lautete:
