Beweis der
p-q-Formel
mit Hilfe der
quadratischen
Ergänzung |
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Beweisidee |
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Nun wollen wir die p-q-Formel herleiten und
somit beweisen.
Die Beweisidee ist folgende:
1. Gegeben ist die Normalform einer quadratischen Gleichung: x²+px+q=0
2. Wir verwandeln mit Hilfe der quadratischen Ergänzung die
die linke Seite der Gleichung in das 1.Binom um.
3. Wir vereinfachen die Gl. durch Substitution und erhalten: (x+a)²=c
4. Wir lösen diese Gleichung mit Hilfe der Lösungsformel aus Kapitel 5
5. Wir führen die Rücksubstitution durch und erhalten die p-q-Formel
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Beweis |
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Gegeben ist die Normalform einer quadratischen
Gleichung:
Wir bringen das konstante Glied auf die rechte Seite:
Wir berechnen die quadratische Ergänzung und addieren diese auf
beiden Seiten der Gleichung:
Die linke Seite ist nun ein Binom, und wir dürfen daher schreiben:
Die Gleichung sieht komplizierter aus als sie ist, damit sie einfacher
aussieht, substituieren (ersetzen) wir die Konstanten, zuerst: a=p/2
Auf der rechten Seite der Gleichung sustituieren wir: c=a²–q
Diese Gleichung müßte uns bekannt vorkommen. Im Kapitel 5 haben
wir eine Lösungsformel für solche Gleichungen entwickelt. Sie lautet:
Damit ist die Gleichung gelöst. Da aber die Formvariablen a und c
in der gegebenen Gleichung nicht vorkommen, müssen wir die beiden
Substitutionen die wir gemacht haben wieder zurücknehmen, und erhalten:
Dies ist aber die Lösungsfomrel, die wir beweisen wollten. Beweisende. |
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