Beispiel:
Grenzwert nicht
vorhanden
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Überblick |
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Wenn der Grenzwert nicht vorhanden ist, dann liefert das
Quotientenkriterium
keine Aussage zur Konvergenz, d.h. die Reihe kann divergieren oder
konvergieren.
Wir beweisen dies, indem wir jeweils ein Beispiel angeben.
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Fall 1: Kein Grenzwert und
divergierende Reihe |
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Gegeben sei die folgende Reihe:
Durch umordnen erkennt man sofort, dass es sich um eine geometrische
Reihe
handelt (mit q=3), die divergiert, denn q ist größer 1:
Wir wollen nun überprüfen, welches Ergebnis das Quotientenkriterium
liefert:
Das allgemeine Glied an können wir ablesen. Das Glied an+1
müssen wir bestimmen,
indem wir im allgemeinen Glied für n den Wert (n+1) einsetzen:
Wir setzen diese Werte in das Quotientenkriterium ein:
Im Exponenten des Nenners klammern wir (-1) aus:
Im Zähler und Nenner wenden wir nun jeweils ein Potenzgesetz an: an–m=an/am
Wir lösen den Doppelbruch auf. Zur Erinnerung nochmal die Regel: Man
dividiert durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert des Bruches
multipliziert:
Jetzt können wir kürzen:
Im Exponenten des Nenners wenden wir ein Potenzgesetz an und
vereinfachen:
Im Nenner wenden wir nun die "Definition negativer Exponenten" an:
Wie bereits gerade erwähnt, dividiert man durch einen Bruch, indem man
mit dem Kehrwert multipliziert:
Zum vereinfachen wenden wir ein Potenzgesetz an, zum Beispiel: an·bn=(ab)n
Nun sieht man: Dieser Grenzwert ist nicht definiert, denn je nachdem,
ob n gerade oder ungerade ist, schwankt der Wert zwischen 27 und 3/9.
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Fall 2: Kein Grenzwert und
konvergierende Reihe |
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Gegeben sei die folgende Reihe:
Durch umordnen erkennt man sofort, dass es sich um eine geometrische
Reihe
handelt (mit q=1/3), die konvergiert, denn q ist kleiner 1:
Wir wollen nun überprüfen, welches Ergebnis das Quotientenkriterium
liefert:
Das allgemeine Glied an können wir ablesen. Das Glied an+1
müssen wir bestimmen,
indem wir im allgemeinen Glied für n den Wert (n+1) einsetzen:
Wir setzen diese Werte in das Quotientenkriterium ein:
Im Exponenten des Nenners klammern wir (–1) aus:
Im Zähler und Nenner wenden wir nun jeweils ein Potenzgesetz an: an–m=an/am
Wir lösen den Doppelbruch auf. Zur Erinnerung: Man dividiert durch
einen Bruch,
indem man mit dem Kehrwert multipliziert:
Jetzt können wir kürzen:
Im Exponenten des Nenners wenden wir ein Potenzgesetz an und
vereinfachen:
Im Nenner wenden wir nun die "Definition negativer Exponenten" an:
Wie bereits gerade erwähnt, dividiert man durch einen Bruch,
indem man mit dem Kehrwert dieses Bruches multipliziert:
Zum vereinfachen wenden wir ein Potenzgesetz an, zum Beispiel: an·bn=(a·b)n
Nun sieht man: Dieser Grenzwert ist nicht definiert, denn je nachdem,
ob n gerade oder ungerade ist, schwankt der Wert zwischen
1/27 und 3.
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