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Die Idee des Verfahrens
a-absatz.pcx (280 Byte) Die Idee des Verfahrens
Wie im Kapitel 1 bereits erklärt, wollen wir eine Funktion durch ein Polynom
mit unendlich vielen Glieder ersetzen, also durch eine Potenzreihe. Es gilt dann:
  
   Satz:
   Wenn die Potenzreihe und die Funktion tatsächlich gleich sind,
   dann haben sie an der Entwicklungsstelle den gleichen Wert.
   Außerdem sind auch alle Ableitungen von Funktion und Potenzreihe
   an der Entwicklungsstelle gleich.

  
Das Lösungsverfahren zur Bestimmung dieser Potenzreihe beruht auf der Idee,
dass auch die Umkehrung der obigen Aussage gelten könnte, dass also gilt:
  
   Umkehrung des Satzes:
   Wenn eine Funktion und eine (unendliche) Potenzreihe an der
   Entwicklungsstelle den gleichen Wert haben, und auch ihre
   Ableitungen an der Entwicklungsstelle übereinstimmen,
   dann ist die Funktion mit der Potenzreihe identisch.

  
Man nennt die Potenzreihe, die an der Entwicklungsstelle den gleichen Funktionswert
und die gleichen Ableitungen wie eine bestimmte Funktion hat, die Taylorreihe dieser
Funktion.
  
Es sei angemerkt, dass die oben erwähnte "Umkehrung des Satzes"
in seltenen Fällen nicht gilt, d.h. die Taylorreihe entspricht nicht der
zugehörigen Funktion (wir werden im Kapitel 3 darauf eingehen): 
 
Die Gleichheit einer Funktion mit ihrer Taylorreihe in unseren Beispielen
ist somit vorerst (also in diesem Kapitel) nur eine Vermutung!