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Antisymmetrische Relationen |
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Definition |
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Antisymmetrische Relationen
ähneln den asymmetrischen Relationen der vorigen Seite,
jedoch dürfen die Elemente einer antisymmetrischen Relation zu
sich selbst
in Relation stehen:
Definition:
Wir nennen eine zweistellige Relation R in einer nichtleeren Menge M
antisymmetrisch,
wenn aus xRy folgt, dass
yRx falsch ist, wenn x und y verschiedene Elemente
sind:.
Als Formel:
Die Formel liest sich so:
Für alle Paare x,y aus der Menge M für die "x ungleich y" gilt:
Aus "x steht in
Relation zu y" folgt:
"y steht nicht in Relation zu x". |
1. Die Antisymmetrie wird oft auch auf die folgende Art
definiert:
2. Man kann auch wieder die alternative Darstellung des Allquantors
benutzen:
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Darstellung im Pfeildiagramm |
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Im Pfeildiagramm erkennt man eine
antisymmetrische Relation daran,
daß es keine Umkehrpfeile gibt (Ringpfeile sind erlaubt):
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Darstellung im Koordinatensystem |
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Bei der Darstellung der Relation
im Koordinatensystem erkennt man eine
antisymmetrische Relation daran, dass zu keinem Element ein Gegenelement
existiert, das spiegelbildlich zur Hauptdiagonalen liegt:
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Beispiel |
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Beispiel für eine antisymmetrische
Relation ist:
Die Relation "...ist größer oder gleich...", als Symbol geschrieben:
³
Aus a³b folgt immer, daß die Aussage b³a
falsch ist, außer wenn a=b
Daher ist die Relation "... ist größer oder gleich ..."
eine antisymmetrische Relation.
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