Kriterium für einen
Sattelpunkt im Allgemeinen |
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Erklärung |
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Auf den vorigen beiden Seiten haben wir
Kriterien entwickelt, wann ein Sattelpunkt
mit Rechts-Links-Wechsel und wann ein Sattelpunkt mit Links-Rechts-Wechsel
vorliegt. Nun wollen wir uns ein Kriterium dafür überlegen, ob überhaupt einer der
beiden Fälle eines Sattelpunktes vorliegt. Die Tabelle zeigt die beiden Fälle:
| Sattelpunkt,
Fall: |
f '(x0) |
f ''(x) |
f ''(x) |
Mit Wechsel von Rechts-
zu Linkskrümmung |
f '(x0)=0 |
f ''(x0)=0 |
Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus |
Mit Wechsel von Links-
zu Rechtskrümmung |
f '(x0)=0 |
f ''(x0)=0 |
Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus |
Man sieht, daß beide Fälle nur in der letzten
Spalte nicht übereinstimmen.
Das gemeinsame Kriterium muß also lauten:
Kriterium für einen
Sattelpunkt bei x0:
An der Stelle x0 sind die 1. und 2. Ableitung sind gleich Null,
und es findet dort ein Vorzeichenwechsel statt. |
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