Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt (nicht zum Ursprung)

Symmetrie V

Symmetrie zur x-Achse zwischen zwei Funktionen

Worum geht es

Bis jetzt haben wir nur Symmetrien einer einzelnen Funktion betrachtet,
aber jetzt geht es um Symmetrien zwischen zwei Funktionen.

Satz

Eine Funktion f(x) ist zu einer zweiten Funktion g(x)
achsensymmetrisch bezüglich der x–Achse, falls gilt:
f(x) = – g(x)

Anmerkung für Anfänger:
Die Gleichung kann man mit –1 multiplizieren, und erhält die Gleichung –f(x)=g(x) ,
mit der man die Symmetrie zweier Funktionen zur x-Achse ebenfalls beschreiben kann.

Beweis:
Die Richtigkeit dieses Satzes kann man sich anhand des folgenden Bildes klarmachen.
g(x) hat immer das umgekehrte Vorzeichen wie f(x), aber den gleichen Betrag.
Zum Beispiel ist f(3) = –g(3) :

1.Berechnungs-Beispiel:

Wir wollen nun mit der Formel von oben, d.h. mit der Formel f(x) = –g(x)
zwei gegebene Funktionen auf Symmetrie zur x-Achse überprüfen.

Gegeben seien zwei Funktionen, die auf gegenseitige Symmetrie bezüglich
der x-Achse überprüft werden sollen:

f(x) = x+1
g(x) = –x–1

Wir klammern in der Gleichung für g(x) die Zahl –1 aus:

g(x) = –(x+1)

In dieser Gleichung entspricht die Klammer den Wert von f(x),
was man durch Vergleich mit der gegebenen Gleichung erkennt:

g(x) = –f(x)

Die letzte Gleichung ist die Formel für Symmetrie zur x-Achse.
Somit sind die beiden Funktionen f(x) und g(x) untereinander symmetrisch bezüglich
der x-Achse.

2.Berechnungs-Beispiel:

Gegeben seien zwei Funktionen, die auf gegenseitige Symmetrie bezüglich
der x-Achse überprüft werden sollen:

f(x) = sin(x)
g(x) = sin(–x)

Die Gleichung für g(x) kann man auch anders schreiben: Wir haben bereits erfahren,
dass die Sinus-Funktion eine ungerade Funktion ist, und es gilt: g(–x)= –g(x).
Daher gilt auch sin(–x)= –sin(x), und man darf schreiben:

g(x) = –sin(x)

Die rechte Seite dieser Gleichung entspricht f(x), was man durch Vergleich mit der
gegebenen Gleichung erkennt:

g(x) = –f(x)

Die letzte Gleichung ist die Formel für Symmetrie zur x-Achse.
Somit sind die beiden Funktionen f(x) und g(x) untereinander symmetrisch bezüglich
der x-Achse.