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Vektorräume II                                             ZURÜCK
Die Axiome S1-S5 im
Vektorraum:
Drehungen eines Quadates 		a-absatz.pcx (280 Byte)Axiom 1
        Nun müssen wir überprüfen, ob die Verknüpfung S unseres
       Beispiels die Axiome S1-S5 erfüllt. Axiom 1 lautete:

           Das Produkt aus einem Körperelement und einem Gruppen-
           element muß ein Gruppenelement ergeben.

        Unsere Verknüpfung aus Körperelementen (reellen Zahlen)
        und Gruppenelementen (Drehungen) lautete:

           Unter dem Produkt k·v einer reellen Zahl k und einer
           Drehung v um den Winkel a-g-alpa.pcx (200 Byte) wollen wir eine Drehung
           um den Winkel k·a-g-alpa.pcx (200 Byte) verstehen.

         Damit ist Axiom 1 erfüllt, denn laut unserer Definition ist
         das Ergebnis aus relleer Zahl und Drehung wieder eine
         Drehung.

a-absatz.pcx (280 Byte)Axiom S2-S4
       Das Assoziativgesetz und die beiden Distributivgesetze sind
       gültig. Wir können den Winkel a-g-alpa.pcx (200 Byte) ja im Bogenmaß (also als
       reelle Zahl angeben), und für drei reelle Zahlen gelten eben
       das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz.

a-absatz.pcx (280 Byte)Axiom S5
       Das Axiom S5 lautete: Es muß im Körper ein Einselement
       geben, für das gilt:

                 1·v = v          (v = Vektor = Gruppenelement)

       Für unser Beispiel heißt dies, daß wir überprüfen müssen ob
       es ein Einselement gibt, für das gilt:

                 Einselement · Drehung um a-g-alpa.pcx (200 Byte) = Drehung um a-g-alpa.pcx (200 Byte)        

        Das Einselement ist, wie man leicht raten kann, die reelle Zahl 1,
        denn es gilt:

                 1 · Drehung um a-g-alpa.pcx (200 Byte) = Drehung um a-g-alpa.pcx (200 Byte)        

         Nun wissen wir auch, woher das "Einselement" seinen
         Namen hat: Meistens ist es die reelle Zahl 1.